Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
631 kez görüntülendi
(11111)n (n tabanında yazılış) tam kare olan tüm n>1 tamsayılarını bulunuz.
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (6.3k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 631 kez görüntülendi

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Biraz kısaltmak adına:
Kare olarak alt sınır üst sınır bulmak istersek n4<n4+n3+n2+n+1<(n2+n)2 eşitsizliğini düşünebiliriz. Bu durumda m bir 0<c<n tam sayısı için m=n2+c olarak yazılabilir. 

Sonrasında benzer olarak:
(n2+c)2=n4+2cn2+c2 eşitliği bize 2c=n+1=c2 eşitliği ile c=2, n=3 olduğunu verir.

(25.6k puan) tarafından 
Haklısın, biraz uzatmışım.
0 beğenilme 0 beğenilmeme

10 tabanında çözüm: Varsayalım ki 11111=x2 olsun. Sayı tek sayı olduğundan x=2k+1 sayısının karesi olarak

11111=4k2+4k+1 şeklindedir. Ama 11111 sayısı 4 ile bölümünce 3 kalanını verir. Demek ki varsayımımız yanlış. 10 tabanı için bu sayı tam kare değil. Hatta başka rakamlar kullanılsaydı da tamkare olmazdı İlgili soru

(3.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Bu sayı herhangi bir tabanda tek sayı olacağından n4+n3+n2+n+1=4k2+4k+1 eşitliğini sağlayan n tamsayılarına bakmak gerekir.
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir n için (11111)n=m2 olsun. Bu, n4+n3+n2+n+1=m2 olması demektir.

((n3)2=n6, 5 den fazla basamaklı ve (n21)2<n4 olduğundan) m yi n tabanında yazdığımızda 3 basamaklı olmak zorundadır.

m=an2+bn+c=(abc)n(0<a<n, 0b,c<n) olsun.

m2=a2n4+2abn3+(2ac+b2)n2+(2bc)n+c2 olur.

a>1 olsaydı m24n4>n4+n3+n2+n+1 olurdu. Bu nedenle a=1 olmak zorundadır.

Öyleyse, m=n2+bn+c şeklindedir. m2=n4+(2b)n3+(2c+b2)n2+(2bc)n+c2 dir.

b>0 olsaydı, m2n4+2n3+n2>n4+n3+n2+n+1 olurdu. Öyleyse b=0 olmalıdır.

m=n2+c iken m2=n4+(2c)n2+c2 dir.

n4+(2c)n2+c2=n4+n3+n2+n+1 eşitliğinden,

(EK: (2c)n2+c2=n3+n2+n+1 eşitliğinden c2n+1 (modn2) elde ederiz. 0c2,n+1<n2 olduğundan)

c2=n+1 ve (2c)n2=n3+n2 (eşdeğer olarak 2c=n+1) olmak zorundadır.

Bu iki eşitlikden c=2 ve n=3 bulunur.

Bu durumda, m=(102)3=32+2=11 ve (11111)3=81+27+9+3+1=121 olup, gerçekten de (11111)3=112 oluyor.

(6.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,081,347 kullanıcı