$(11111)_n$ tam kare olan tüm $n>1$ tamsayılarını bulunuz.

Question

$(11111)_n$ ($n$ tabanında yazılış) tam kare olan tüm $n>1$ tamsayılarını bulunuz.

Answer 1

Biraz kısaltmak adına:
Kare olarak alt sınır üst sınır bulmak istersek  $$n^4<n^4+n^3+n^2+n+1<(n^2+n)^2$$ eşitsizliğini düşünebiliriz. Bu durumda $m$ bir $0<c<n$ tam sayısı için $m=n^2+c$ olarak yazılabilir. 

Sonrasında benzer olarak:
$$(n^2 + c)^2 = n^4 + 2c \cdot n^2 + c^2$$ eşitliği bize $2c=n+1=c^2$ eşitliği ile $c=2$, $n=3$ olduğunu verir.

Comments

Haklısın, biraz uzatmışım.

Answer 2

$10$ tabanında çözüm: Varsayalım ki $11111=x^2$ olsun. Sayı tek sayı olduğundan $x=2k+1$ sayısının karesi olarak

$11111=4k^2+4k+1$ şeklindedir. Ama $11111$ sayısı $4$ ile bölümünce $3$ kalanını verir. Demek ki varsayımımız yanlış. $10$ tabanı için bu sayı tam kare değil. Hatta başka rakamlar kullanılsaydı da tamkare olmazdı İlgili soru

Comments

Bu sayı herhangi bir tabanda tek sayı olacağından $n^4+n^3+n^2+n+1=4k^2+4k+1$ eşitliğini sağlayan $n$ tamsayılarına bakmak gerekir.

Answer 3

Bir $n$ için $(11111)_n=m^2$ olsun. Bu, $n^4+n^3+n^2+n+1=m^2$ olması demektir.

($(n^3)^2=n^6,\ 5$ den fazla basamaklı ve $(n^2-1)^2<n^4$ olduğundan) $m$ yi $n$ tabanında yazdığımızda 3 basamaklı olmak zorundadır.

$m=an^2+bn+c=(abc)_n\quad (0<a<n,\ 0\leq b,c<n)$ olsun.

$m^2=a^2n^4+2abn^3+(2ac+b^2)n^2+(2bc)n+c^2$ olur.

$a>1$ olsaydı $m^2\geq4n^4>n^4+n^3+n^2+n+1$ olurdu. Bu nedenle $a=1$ olmak zorundadır.

Öyleyse, $m=n^2+bn+c$ şeklindedir. $m^2=n^4+(2b)n^3+(2c+b^2)n^2+(2bc)n+c^2$ dir.

$b>0$ olsaydı, $m^2\geq n^4+2n^3+n^2>n^4+n^3+n^2+n+1$ olurdu. Öyleyse $b=0$ olmalıdır.

$m=n^2+c$ iken $m^2=n^4+(2c)n^2+c^2$ dir.

$n^4+(2c)n^2+c^2=n^4+n^3+n^2+n+1$ eşitliğinden,

(EK: $(2c)n^2+c^2=n^3+n^2+n+1$ eşitliğinden $c^2\equiv n+1\ (\!\!\!\!\mod n^2)$ elde ederiz. $0\leq c^2,n+1<n^2$ olduğundan)

$c^2=n+1$ ve $(2c)n^2=n^3+n^2$ (eşdeğer olarak $2c=n+1$) olmak zorundadır.

Bu iki eşitlikden $c=2$ ve $n=3$ bulunur.

Bu durumda, $m=(102)_3=3^2+2=11$ ve $(11111)_3=81+27+9+3+1=121$ olup, gerçekten de $(11111)_3=11^2$ oluyor.