Bir doğal sayının; $a_0=0$, $a_1=1$ ve $n\geq 2$ için $a_n=ka_{n-1}+a_{n-2}$ indirgemeli dizisinin elemanı olma şartı nedir?

Question

$k$ pozitif tamsayısı için $\{a_n\}$ dizisini şöyle tanımlayalım: $a_0=0$,  $a_1=1$ ve $n\geq 2$ için $a_n=ka_{n-1}+a_{n-2}$ olsun. 

Bir $n$ doğal sayısı için $(k^2+4)n^2+4$ veya $(k^2+4)n^2-4$ sayısının tamkare olması için gerekli ve yeterli şart, $a_m=n$ olacak şekilde bir $m$ doğal sayısı olmasıdır, gösteriniz. (Metin Can Aydemir)

Not: $k=1$ için, yani Fibonacci dizisi için bu soru 1972 yılında Ira Gessel tarafından yazılıp, çözümü yayınlanmıştır. Benim burada yaptığım sadece bir genelleştirmedir.