Question

$(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayının kompakt (tıkız) olmadığını -ilgili linkteki teoremi kullanarak- gösteriniz.

Answer 1

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi olmak üzere $$\mathcal{A}= \{\mathbb{R} \setminus (-n,n)| n \in \mathbb{N}\}\subseteq \mathcal{C}(X,\tau)$$ ailesi, sonlu kesişim özelliğine sahip olmasına karşın $$\bigcap\mathcal{A}=\emptyset$$ olduğundan ilgili linkteki karakterizasyon gereği $(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayı kompakt (tıkız) değildir.

 

EK: $\mathcal{A}$ ailesinin sonlu kesişim özelliğine sahip olduğunu gösterelim. $\mathcal{A}^* \subseteq \mathcal{A}$ ve $|\mathcal{A}^*| < \aleph_0$ olsun.

 

$\left.\begin{array}{rr}(\mathcal{A}^* \subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^*| < \aleph_0) \Rightarrow (\exists m\in\mathbb{N})(\mathcal{A}^*= \{\mathbb{R} \setminus (-n_k,n_k)| k=1,2,3,...,m \}) \\ \\ n_0:=\max\{n_k|k=1,2,3,\ldots m\} \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (n_0\in\mathbb{N})\left(\bigcap \mathcal{A}^*= \mathbb{R} \setminus (-n_0,n_0) \neq \emptyset\right).$