Topolojik Uzaylarda Baz-VIII

Question

$\mathbb{R}$ 'de $\tau=\{(-\infty,a)|a\in \mathbb{R}\}\cup \{\emptyset,\mathbb{R}\}$

ailesi, $\mathbb{R}$ kümesi üzerinde bir topolojidir.

Bu topoloji için bir baz yazınız.

Ben aşağıdaki şekilde buldum. Başka neler olabilir?

$\mathcal{B}_1=\{(-\infty,a)|a\in \mathbb{R}\}$

$\mathcal{B}_2=\{(-\infty,a)|a\in \mathbb{Q}\}$

Answer 1

$\mathcal{B}_1$ ailesinin baz olduğu bariz.

 

$\mathcal{B}_2$ ailesi de $\tau$ topolojisi için bir bazdır. Gösterelim. 

 

$a\in\mathbb{Q}$ olmak üzere $(-\infty,a)$ şeklindeki kümeler ile $\emptyset$ ve $\mathbb{R}$ kümelerinin $\mathcal{B}_2$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazabiliriz. Şöyleki:

• $\mathcal{A}:=\emptyset\subseteq \mathcal{B}_2$  ve  $\bigcup\mathcal{A}=\emptyset,$
• $\mathcal{A}:=\{\mathbb{R}\}\subseteq \mathcal{B}_2$  ve  $\bigcup\mathcal{A}=\mathbb{R},$
• $a\in\mathbb{Q}$ olsun. $a$ rasyonel sayısı pozitif de olsa negatif de olsa $(-\infty,a)$ kümesinin $\mathcal{B}_2$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazmak kolay.

 

Burada $a\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ olduğunda $(-\infty,a)$ şeklindeki kümelerin $\mathcal{B}_2$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde nasıl yazılabileceğini düşünmemiz lazım.

$a\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ ve $a$ pozitif olsun.

Genel terimi $\frac{\lfloor a\cdot 10^n\rfloor}{10^n}$ olan $\left(\frac{\lfloor a\cdot 10^n\rfloor}{10^n}\right)$ dizisi, artan bir rasyonel sayı dizisidir.

$$\mathcal{A}:=\left\{\left(-\infty,\frac{\lfloor a\cdot 10^n\rfloor}{10^n}\right)\Big{|}n\in\mathbb{N}\right\}\subseteq \mathcal{B}_2$$   ve  $$(-\infty,a)=\bigcup \mathcal{A}$$ olur. Dolayısıyla $a$ rasyonel ve pozitif sayı iken $(-\infty,a)$ kümesinin $\mathcal{B}_2$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazılabileceğini göstermiş olduk. $a$ rasyonel ve negatif sayı iken de benzer işler yapılabileceğini sana bırakalım @Dilekakln.