Question

$n!=a^2,a\in \mathbb{Z}$ olacak şekilde $a$ mevcut mu?

$a=1$ olduğu bariz ama başka örnek var mı? Var ise varlığını nasıl gösterilebiliriz?

Comments

Ipucu/örnek: $n=13$ olamaz. Çünkü $13!$'i asal çarpanlarına ayırırsan (yani $13=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}$ şeklinde yazacak olursan) yalnızca bir tane $13$ görmelisin (yani ayrışımda $13$'ün kuvveti $1$ olmalı). Neden?

Öte yandan $13$ asalı $a^2$'yi bölüyorsa, $a$'yı da bölmek zorunda. Ya da daha açık yazayım: $a^2$'yi çarpanlarına ayır. Bunu yapmak için önce $a$'yı çarpanlarına ayır ve sonra karesini al. Böylelikle $a^2$'de görülen asalların kuvvetlerinin çift olması gerektiğini göreceksin. Çelişki.

Burada 13'ün asal olduğunu kullandık. Tamamen aynı kanıt $n=14, 15, 16$ için de çalışıyor (yine 13'le).