Question

$\tan x$ daima artandır.

Türevi pozitif olduğundan artan olduğu açık ama kafamı şu karıştırdı. $tan(\pi /4)=1$  $tan(\pi)=0$ . Nerede yanlış var?

Comments

$\tan(\pi/2)$ ne?

---

o noktada tanımsız

---

Dolayısıyla türevli değil. Dolayısıyla $(\pi/4, \pi)$ aralığında türevi her zaman pozitif değil.

Answer 1

Gerçel değişkenli ve gerçel değerli fonksiyonların kuralı verildiğinde çoğu zaman tanım kümesi açıkça belirtilmez. Bu durumda fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun kuralında $x$ değişkeni yerine gelebilecek tüm gerçel sayıların oluşturduğu küme olarak alınır.

Bu soruda da fonksiyonun tanım kümesi açıkça belirtilmemiş. Dolayısıyla kuralını yazdığınız fonksiyonun tanım kümesi olarak $$\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi |k\in\mathbb{Z}\right\}$$ kümesi alınır ve $$f(x):=\tan x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi |k\in\mathbb{Z}\right\}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu da artan DEĞİLDİR.

 

Fakat şunu da eklemek de fayda var. $$g(x):=\tan x$$ kuralı ile verilen $$g:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu artandır. Yani fonksiyonun kuralı kadar tanımlı olduğu aralık da önem arz ediyor. Sen burayı kaçırmışsın @sametoytun.

Comments

Şunu da ekleyelim @sametoytun. Mesela $$f(x)=\frac{1}{x}$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\setminus\{0\}$$ fonksiyonu $(\mathbb{R}\setminus\{0\}$'da$)$ artan değildir. Fakat aynı fonksiyon $(-\infty,0)$'da ve $(0,\infty)$'da azalandır.

---

f(2)=0.5, f(4)=0.25 azalan olmalıydı.

---

Hayır @sametoytun. Fonksiyon azalan da değil.

---

 $x\in(0,\infty)$ göz önüne alındığında x'ler büyüdükçe y değerleri azalmıyor mu?

---

$(-\infty, 0)$ ve $(0,\infty)$ aralıklarında dediğin gibi ama $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ kümesinde fonksiyon azalan değil. Mesela $-1<1$ fakat $f(1)=1\leq -1=f(-1)$ olmadığından $f$ fonksiyonu $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ kümesi üzerinde azalan DEĞİLDİR.

---

$f(-1)=-1<1=f(1)$

---

Hocam dediğiniz aralık reel sayılardan sıfırı çıkarmış haline eşit değil mi?

---

@murad.ozkoc ilk yorumda typo yapmışsın, ona takıldı sanıyorum sametoytun. "Artandır" yazmışsın.

---

Haklısın @Ozgur. Teşekkür ederim. Düzelttim.

---

@sametoytun, $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ kümesi bir ARALIK DEĞİL. Buna dikkat et. Buraya bir göz at istersen.