Question

Boş fonksiyon türevlenebilir mi?

Answer 1

Boş fonksiyon türevlenebilirdir (tanım kümesi üzerinde türevlenebilirliği kastediyoruz) diyebilmemiz için her noktada türevlenebilir olduğunu göstermemiz gerekir. Yanıta geçmeden önce bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması ne demek onu hatırlatalım:

$A\subseteq\mathbb{R},$ $f:A\to \mathbb{R}$ fonksiyon ve $a\in A\cap D(A)$ (yani $a$ noktası hem fonksiyonun tanım kümesinde hem de fonksiyonun tanım kümesinin bir yığılma noktası) olsun. Eğer $$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ limiti GERÇEL SAYI olarak mevcut ise $f$ fonksiyonuna $a$ noktasında türevlenebilirdir denir ve bu limit değeri genellikle $f'(a)$ ile gösterilir. Eğer $f$ fonksiyonu $A\cap D(A)$ kümesindeki her noktada türevlenebilir ise o zaman $f$ fonksiyonuna $A$'da türevlenebilir ya da kısaca türevlenebilir fonksiyon denir.

Biçimsel olarak $$(A\subseteq\mathbb{R})(f\in\mathbb{R}^A)(a\in A\cap D(A))$$

$$:\Rightarrow$$

$$f, \ a\text{'da türevlenebilir}:\Leftrightarrow (\exists L\in\mathbb{R})\left(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L\right)$$

$$f, \ (A\text{'da) türevlenebilir}:\Leftrightarrow (\forall a\in A\cap D(A))(\exists L\in\mathbb{R})\left(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L\right)$$

şeklinde ifade edilir.

Bu bilgiler ışığı altında soru, $A=\emptyset$ ise $$``(\forall a\in A\cap D(A))(\exists L\in\mathbb{R})\left(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L\right)"$$ önermesi doğru mudur? sorusuna dönüştü. Bu önermenin doğru olduğunu biliyoruz. Demek ki boş fonksiyon türevlenebilir bir fonksiyonmuş.