Question

$X$ ve $Y$ herhangi iki küme ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere $$1) \,\, X=\emptyset \text{ ve } Y\neq\emptyset\text { olabilir mi?}$$

$$2) \,\, X\neq \emptyset \text{  ve  } Y=\emptyset\text { olabilir mi?}$$

$$3) \,\, X=\emptyset \text{  ve  } Y=\emptyset\text { olabilir mi?}$$

Comments

3 olabilir çünkü boş kümedem boş kümeye tamımladığımız fonksiyon hiç'i hiç'e götürür. hiç her zamam hiç' e eşittir dolayısıyla tanım kümesindeki hiçler de eşittir. matematiksel olarak nasıl gösterebilirim bilemedim

---

Fonksiyon tanımından yalnızca 3. durum olabilir.

---

 yanlizca 3 degil 1 de olur mantıksal sonuçtan elde edilir 

---

Tanım kümesi boş küme olan bir fonksiyon ne işe yarar? Neden fonksiyon tanımında tanım kümesinin boş kümeden farklı olmasını şart koymuyorsun/koymuyorlar? 

---

İşe yaraması veya yaramaması ayrı bir soru olarak ele alınabilir. Burada eğer $f:X\to Y$ bir fonksiyon ise bu fonksiyonun sadece tanım kümesi, sadece hedef kümesi veya hem tanım kümesi hem de hedef kümesi boş küme olabilir mi sorusuna yanıt aradık.

---

Niye bu soruya yanıt aradık peki :)

(Ayrı bir soru olarak mı sorayım?)

---

 Özgür merhaba. Aşağıdaki bilgiler bu linkten kopyaladım. Senin soruna makul bir yanıt diye düşünüyorum.

*Not (İşlem (Operasyon) Kavramı Üzerine): Bu kitapta, "Bir $A$ kümesinde ikili işlem (operation)" kavramı "$A\times A$’nın bir altkümesinden $A$’ya bir fonksiyon” olarak tanımlanmıştır. Kısaca "işlem" dediğimiz bu kavram, ülkemizde $1968$’de "Modern Matematik" adıyla başlatılan matematik programlarında da buradaki gibi ele alınmıştır. "Kapalı işlem" ise, "$A´A$’dan $A$’ya bir işlem (*)" olarak tanımlanır. Fakat klasik kitapların birçoklarında, "kapalı işlem" tanımı "işlem" tanımı olarak verilmiştir. Bu bir tanım meselesidir ve bir çelişkiye yol açmadığı sürece tanımlara karışılmaz! Fakat “işlem” kavramı $(A´A$’nın bir altkümesinden değil de) “$A\times A$’dan $A$’ya bir fonksiyon" olarak tanımlanırsa, bunun ardından aynı tanım verilerek "kapalı işlem" diye bir kavram da ortaya atılırsa matematiğin zarafeti ve dakikliği zedelenmiş olur. Bazı kitaplarda ise "işlem" kavramı "$A\subset B$ olmak üzere $A´A$'dan $B$'ye fonksiyon” olarak tanımlanmıştır. Bu tanıma göre ise bir "*" işlemi $A$’nın herhangi iki $x,y$ elemanı için, $x*y$ ve $y*x$’in ikisinin de tanımlı olmasını gerektirmektedir. Oysa kapalı olmayan işlemler için bunlardan biri (ya da ikisi birden) tanımlı olmayabilir. Klasik matematikte "iyi tanımlılık" denilen "bir ikiliye karşılık birden çok elemanın karşılık gelmemesi" koşulu ise işlemin bir fonksiyon olmasının gereğidir. $A\times A’$dan $A$’ya bir $*$ işlemi,  $*:A\times A \to A$ biçiminde bir fonksiyondur ve o halde bir fonksiyon olmanın 

$$i. (x,y)=(z,t)\Rightarrow x*y=z*t \text{ (iyi tanımlılık)}$$

$$ii. (x,y)\in A\times A\Rightarrow x*y\in A \text{ (kapalılık)}$$

$$(\forall x,y\in A, x*y\in A)$$

koşullarını (zaten) yerine getirir. Bir $*$ işlemi $(ii)$ koşulunu sağlarsa kapalı, aksi halde yani

$$`` \exists x,y\in A, x*y\notin A"$$

ise "kapalı olmayan" bir işlem olur. Matematikte yeni kavramlarla ilgili yapılan tanımlar daha önceki tanımlar, varsayımlar ve teoremlerle çelişmemeli ve uyum içinde olmalıdır. Özellikle de bunların ifadelerinde dakiklik ve kesinlik zorunluluğu vardır. Türkçe, İngilizce vs gibi ulusal diller matematiksel kesinliği bir ölçüde sağlayabilirse de, matematiksel kesinlik, hangi ulustan olurlarsa olsunlar herkesin aynı şeyi (tam tamına-ne eksik ne fazla) anlayabilmesini sağlayan "Matematiğin Evrensel Sembolik Dili" ile sağlanır. $A\times A$’nın altkümesi olan $\alpha$'nın boş küme olması halinde işleme "$A$’da boş işlem" denir. $\phi :\emptyset^2\to A$ işlemi, kapalılık, birleşme, değişme vs gibi özellikleri sağlar. (Neden?). $A=\emptyset$ olması halinde de $\phi:\emptyset^2\to\emptyset$ işlemi söz konusu edilebilir. Bazı kaynaklarda böyle bir kavramın gereksiz olacağı düşünülüp $\alpha\neq\emptyset$ ve $A\neq\emptyset$ kabul edilmektedir. Bu bir tanım meselesidir; fakat bir $A$ kümesindeki işlemlere $\phi$ işlemin de dâhil edilmesi bazı sayma problemleri için “daha estetik” denilebilecek formülasyonları sağlamaktadır. Örnek olarak, $n$ elemanlı bir kümedeki tüm işlemlerin sayısı:

$$\sum_{k=0}^{n\times n}\dbinom{n\times n}{k}n^k=(n+1)^{n^2}$$

Tanım 3 (Kapalılık Özelliği): Bir $A$ kümesindeki bir $*$ işlemi eğer $A^2$’den $A$’ya ise, yani her $(x,y)\in A^2$ için tanımlıysa buna $A$’da kapalı işlem denir.

$$*, A\text{’da kapalı işlem}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$*:A^2\to A$$

$$(\forall x,y\in A, x*y\in A)$$

Tüm bunları söyledikten sonra değişme özelliği, birleşme özelliği, birim eleman, ters eleman vs gibi kavramları KAPALI işlemlerde söz konusu edeceğiz diyorum. Tıpkı bir $A$ kümesi üzerinde tanımlı bağıntılarda söz konusu olan yansıma, simetri, ters simetri, geçişme vs özellikleri söz konusu ettiğimiz gibi. Malum $A$'dan $B$'ye tanımlı bağıntılarda yansıma, simetri, ters simetri, geçişme vb özellikler mevzu bahis değildir.

---

Özet olarak şunu anlıyorum: Eğer boş küme üzerinde fonksiyonlara izin verirsek bazı formüller daha estetik duruyor.

Teşekkürler.

---

Aynen öyle Özgür

Answer 1

$X$ ve $Y$ herhangi iki küme ve $f\subseteq X\times Y$ (yani $f$, $X$'den $Y$'ye bağıntı) olsun.

$$f, \ X\text{'den } Y\text{'ye fonksiyon}:\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} \textbf{1)} \ (\forall x\in X)(\exists y\in Y)((x,y)\in f) \\ \\ \textbf{2)} \ (\forall x\in X)(\forall y,z\in Y)[((x,y)\in f\wedge (x,z)\in f)\Rightarrow y=z]\end{array}\right.$$

Eğer bir $f$ bağıntısı fonksiyon ise $$(x,y)\in f$$ gösteriminden ziyade  $$y=f(x)$$ gösterimi kullanılır. Yani $$y=f(x):\Leftrightarrow (x,y)\in f.$$

Burada $X$ kümesine fonksiyonun tanım kümesi; $Y$ kümesine fonksiyonun hedef (değer) kümesi ve $f(x)$'e de fonksiyonun kuralı denir. Aklıma gelmişken çok sık yapılan şu yanlışı da paylaşayım. "$f(x)$ fonksiyonu birebir midir? $f(x)$ fonksiyonu örtendir. $f(x)$ fonksiyonu ne artan ne de azalandır. $f(x)$ fonksiyonu tek midir? $f(x)$ fonksiyonu süreklidir. $f(x)$ sabit fonksiyondur. $f(x)$ birim fonksiyon değildir." vs. şeklindeki söylemler doğru değildir. Çünkü $f(x)$ bir fonksiyon değil, $f$ fonksiyonunun kuralıdır.

Bu bilgiler ışığı altında 1. soru ile başlayalım:

$X=\emptyset$ ve $Y\neq \emptyset$ olursa $(\emptyset\subseteq f\subseteq X\times Y=\emptyset\times Y=\emptyset$ olduğundan) $f=\emptyset$ olur. $f$ fonksiyon olduğundan 

$$(\forall x\in \emptyset)(\exists y\in Y)((x,y)\in \emptyset)$$ ve $$((x,y)\in \emptyset \wedge (x,z)\in \emptyset)\Rightarrow y=z$$ önermeleri doğru olmalıdır. Şimdi bu önermelerin doğru olup olmadığına bakalım.

$$(\forall x\in \emptyset)(\exists y\in Y)((x,y)\in \emptyset)$$

$$\equiv$$

$$\forall x[\underset{0}{\underbrace{x\in \emptyset}}\Rightarrow \underset{p}{\underbrace{(\exists y\in Y)((x,y)\in \emptyset)}}]$$

$$\equiv$$

$$\forall x[0\Rightarrow p]$$

$$\equiv$$

$$\forall x  \ 1$$

$$\equiv$$

$$1$$ yani ilk önerme doğru.

$$(\forall x\in X)(\forall y,z\in Y)[(\underset{0}{\underbrace{(x,y)\in \emptyset}} \wedge \underset{0}{\underbrace{(x,z)\in \emptyset}})\Rightarrow \underset{p}{\underbrace{y=z}}]$$

$$\equiv$$

$$(0\wedge 0)\Rightarrow p$$

$$\equiv$$

$$0\Rightarrow p$$

$$\equiv$$

$$1$$

yani ikinci önerme de doğru. 

Demek ki $f$, $X$ kümesinden $Y$ kümesine bir fonksiyon ise $X=\emptyset$ ve $Y\neq \emptyset$ olabilir. Bu fonksiyona BOŞ FONKSİYON adı verilir.

 

Şimdi de 2. soruya bakalım.

$X\neq\emptyset$ ve $Y=\emptyset$ olursa $(\emptyset\subseteq f\subseteq X\times Y=X\times\emptyset =\emptyset$ olduğundan) $f=\emptyset$ olur. $f$ fonksiyon olduğundan 

$$(\forall x\in X)(\exists y\in \emptyset)((x,y)\in \emptyset)$$ ve $$(\forall x\in X)(\forall y,z\in Y)((x,y)\in \emptyset \wedge (x,z)\in \emptyset)\Rightarrow y=z$$ önermeleri doğru olmalıdır. Şimdi bu önermelerin doğru olup olmadığına bakalım. İkinci yazdığımız önerme doğru olmasına karşın ilk önermenin doğru olmadığını görmek zor olmasa gerek. Dolayısıyla $f$, $X$'den $Y$'ye bir fonsiyon ise $X\neq\emptyset$ ve $Y=\emptyset$ OLAMAZ.

3. soru cevabı ise 1. sorunun cevabına benzer şekildedir. Yani bir fonksiyonda hem tanım kümesi hem de hedef (değer) kümesi boş küme olabilir.

Comments

Cevap için teşekkürler. Konunun farklı bir yanına değinmek istiyorum.

Bu tür tartışmalarda tanımı baştan ifade etme taraftarıyım. Örneğin MEB matematik kitaplarında fonksiyonun tanım ve değer kümeleri boş kümeden farklı olarak veriliyor. Bu tanımı alınca da 1, 2, 3 ten hiçbiri fonksiyon olmuyor.

Akademik düzeyde çalışılırken bir çok kavram genelleştirmelere uğruyor. Matematik eğitimi ve öğretiminde bu tür konular araştırma ve tartışma konusu olmuştur. Yani daha genel ve kapsayıcı olan tanımları, kavramları vererek mi sunmalıyız? Yoksa bu kavramları daha dar ve basit anlamlarda sunarak bunun karşılığında anlaşılırlığı mı artırsak? İkincisi pedagojiye uygun görüldüğünden (aksi görüş varsa da yaygın değildir, bilgim yok) ders kitaplarına bu şekilde giriyor.

Lise ders kitaplarında fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerinin boş kümeden farklı olarak sunulmasının mantığı budur. Birçok kavramda da bu sadeleştirme ve basite indirgemeler kullanılmaya devam ediyor.