mertebesi 5 ten küçük eşit grupları değişmeli olduğun gösteriniz

Question

$G$ bir grup ; eğer $|G|\leq 5 \Rightarrow G$ değişmelidir. Gösterınız

Answer 1

Mertebesi $1$ olan grup $G=\{ e \}$ olup açıkça değişmelidir.

Mertebesi asal olan tüm gruplar devirli gruptur (teoremdir) ve bunun sonucunda (devirli her grup değişmeli olduğundan-bu da bir başka teoremdir) mertebesi asal olan tüm gruplar değişmelidir. Böylece mertebesi $2, 3, 5$ olan gruplar da değişmelidir.

 

Geriye mertebesi $4$ olan gruplar kaldı. Birbirine izomorf (eş yapılı) olmayan sadece iki grup vardır. Bunlar Klein $4$-lü grubu ve $(\mathbb Z_4, +)$ grubu. Bu grupların her ikisi de değişmelidir. Böylece, $|G|\leq 5$ olan her $G$ grubu değişmelidir.

 

 

Notlar:

1. $|G|=6$ olan ve değişmeli olmaya grup vardır. $(S_3, \circ)$ permütasyon fonksiyonları grubu (eşkenar üçgenin dönme/yansıma simetrilerinin grubu).

2. Klein $4$-lü grubu, değişmeli olduğu halde devirli olmayan en küçük mertebeye sahip gruptur.