4 elemanlı tüm grupları ya Klein $4$ grubuna yada $\mathbb{(Z_4},+)$ grubuna izomorfik olduğunu gösteriniz.

Question

İlgili sorunun cevabıden gecen "Birbirine izomorf (eş yapılı) olmayan sadece iki grup vardır. Bunlar Klein 44-lü grubu ve (Z4,+)(Z4,+) grubu. "Birbirine izomorf (eş yapılı) olmayan sadece iki  grup vardır. Bunlar Klein $4$-lü grubu ve $\mathbb{(Z_4},+)$" grubu" bu cumleyi kanıtlayınız.

Comments

Grubun mertebesi $4$ olduğu için her bir elemanın mertebesi de $1$, $2$ veya $4$ olabilir. Mertebesi $1$ olan eleman birim elemandır. Bundan sonra da şunları düşünebiliriz:

Mertebesi $4$ olan bir eleman varsa bu nasıl bir grup olur? Metrebesi $4$ olan eleman yoksa, yani birim eleman hariç diğerlerinin metebesi $2$ ise, bu nasıl bir grup olabilir?

 

$4\times 4$ türündeki bir işlem tablosuna (grubun işlem tablosuna) bunları yerleştirmek işe yarayacaktır.

---

2 durum var

mertebesi 4 olup devirli grup olabilir veya olmayabilir.

Answer 1

$4$ elemanlı $G$ grubumuz $G = \{e,a,b,c \}$ olsun ve birim elemanı $e$ ile gösterelim. 

 

1. Durum: Öncelikle mertebesi $4$ olan bir elemanın var olduğunu düşünelim. Bu eleman $a$ olsun, $a^4 = e$ dir. $|a|=|G|=4$ olduğundan $a$, $G$ grubunun bir üretecidir. Diğer bir deyişle $G$ grubu devirlidir. Genelliği bozmadan $a^1=a, a^2 = b, a^3=c, a^4=e$ yazabiliriz. (Çünkü $a^1=a, a^2 = c, a^3=b, a^4=e$ şeklindeki işlem tanımlaması $b$ ile $c$ nin pozisyonunu değiştireceğinden birbirine izomorf yapılar elde edilir.) $a$ Buna göre $G$ grubunun işlem tablosunu yazalım. Örneğin $a*b =a*a^2 = a^3 =c$ olur. Aşağıdaki işlem tablosunun tek türlü doldurulabildiği görülmektedir:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline   * & e & a & b & c \\ \hline  e & e & a & b & c  \\ \hline  a & a & b & c & e   \\ \hline b & b & c  & e & a    \\ \hline c & c & e & a & b  \\ \hline    \end{array}$$

 

Bu $(G,*)$ devirli grubu $(\mathbb Z_4, +)$ ile izomorftur. Çünkü $f: G \to \mathbb Z_4$, $f(a)=0$, $f(a)=1$, $f(b)=2$, $f(c)=3$ bire bir ve örten olur. Ayrıca her $x, y \in G$ için $f(x*y) = f(x) + f(y)$ homomorfizma özelliği sağlanır. O halde mertebesi $4$ olan herhangi bir devirli $G$ grubu $Z_4$ ile izomorftur.

 

2. Durum: Şimdi de devirli grup olmayan $G = \{e,a,b,c \}$ grubunun birim elemanını $e$ ile gösterelim. $a, b, c$ nin her birinin mertebesi $|G|=4$'ün bir böleni olacağından yalnızca $|a|=|b|=|c|=2$ durumu mükündür. Yani $a^2 = b^2=c^2 =e$ dir. Bu halde her elemanın ters elemanı kendisine eşittir. $a^{-1}=a$, $b^{-1}=b$, $c^{-1}=c$. Başka işlemleri de hesaplayalım, örneğin: $a*b = c$ olmalıdır. Çünkü $a*b = a$, $a*b = b$ veya $a*b = e$ durumlarda sırasıyla $b=e$, $a=e$, $a=b$ çelişkilerine ulaşırız. Bu sebeple $a*b=c$ olmalıdır. Artık $G$ grubunun işlem tablosunu yazmaya hazırız:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline   * & e & a & b & c \\ \hline  e & e & a & b & c  \\ \hline  a & a & e & c & b   \\ \hline b & b & c  & e & a    \\ \hline c & c & b & a & e  \\ \hline    \end{array}$$

Bu tablo da tek türlü doldurulabiliyor. Bu tablo, Klein-$4$ grubunun tablosudur. Demek ki mertebesi $4$ olup, devirli olmayan herhangi bir $G$ grubu, Klein-$4$ grubu ile izomorftur.