Question

$ln(x+1)  <x$ olduğunu gösterin.

Comments

Belirtmek isterim, ben soruyu çözdüm eğer cevaplanmazsa kendim eklerim

---

Bağlantı kurduğunuz soruda kanıtlanan şeylerden sadece ötelemeyle çıkıyor gibi geldi, siz nasıl yaptınız, merak ettim?

---

Bu, analiz derslerinde gösterilen standart bir eşitsizliktir. İlginç bir tarafını göremiyorum.

---

Sanırsam yanlış anlaşılmışım. Tabi yukarıda bir tık farklısı yazınca olmuş sanırım. Hocanın dediği gibi ilginç bir şey yok. Ortalama değer teoremi ile çözülüyor. Birazdan cevabı eklerim

Answer 1

$f(x)=ln(x+1)$, $x >0$ olsun. Ortalama değer teoremini uygulayalım.

$\dfrac {1}{1+c}=\dfrac{ln(1+x)}{x} , c\in (0,x)$

$\dfrac {1}{1+c} < 1 \to ln(x+1)  < x$

Comments

Bu yapılan, eşitsizliğin $x>0$ iken doğruluğunu gösteriyor.
$x=0$ için $\ln (1+x)=x$ oluyor.
$-1<x<0$ iken de doğru olduğu (benzer veya başka şekilde) gösterilebiliyor.