Question

$\tanh^{-1}x=\dfrac{1}{2}[ln(x+1)-ln(1-x)]$ olduğunu gösterin.

$tanhx$ ifadesini açmak yeterli, cevaplayan olmaz ise kendim cevabı yazarım.

Answer 1

Çözüm: Burada $y=f(x)=\tanh x$ fonksiyonu için $f: \mathbb R \to (-1, 1)$ olduğunu belirtmekte fayda var. Çünkü hiperbolik fonksiyon bu şekilde bire bir ve örtendir, dolayısıyla ters fonksiyon vardır. Artık çözüm içindeki tüm $y$ değişkenlerimiz $-1<y<1$ eşitsizliğini sağlamaktadır. Buna göre çözüme devam edelim:

 

$y=f(x)=\tanh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x +e^{-x}}= \dfrac{e^{2x} - 1}{e^{2x} +1}$ yazalım. Çapraz çarpım yapılırsa

$e^{2x}y +y = e^{2x} -1$ olup $e^{2x} (1-y) = 1+y$ dir. Buradan $2x = \ln \left( \dfrac{1+y}{1-y}\right)$ olup

$$f^{-1}(x) = \tanh^{-1} x = \dfrac{1}{2} \left( \ln(1+x) - \ln(1-x) \right)$$

elde edilir $\blacksquare$