Eğer $f(x)=x^4 - px^3 + qx^2 - pqx + 1 = 0$ ise $(\alpha + \beta + \gamma)(\alpha + \beta + \delta) (\alpha + \gamma + \delta)(\beta + \gamma + \delta) = 1$ olduğunu gösterin.

Question

Eğer $$x^4 - px^3 + qx^2 - pqx + 1 = 0$$

ve denklemin kökleri $\alpha, \beta , \gamma,\delta$ ise;

$$(\alpha + \beta + \gamma)(\alpha + \beta + \delta) (\alpha + \gamma + \delta)(\beta + \gamma + \delta) = 1$$ olduğunu gösterin.

Kökleri bildiğimiz için şöyle yazarız:

$$f(x) = x^4 - px^3 + qx^2 - pqx + 1 = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)(x - \delta)$$

Vieta formundan $u(x)=ax^4+bx^3....$ için kökler toplamı  $-b/a$ ile verildiğinden,

$$\alpha + \beta + \gamma + \delta = p$$ olur

$$f(p)$$  için denklem düzenlenirse

$$\color{green}{\boxed{\boxed{(p - \delta)(p - \gamma)(p - \beta)(p - \alpha) = f(p) = 1}}}\quad\Box$$

Vieta kullanılarak çıkarılması kolay ancak başka hangi yöntemler olurdu?

Comments

gosterim bana mantikli gelmedi, fonksiyon hem dorduncu dereceden bin polinom hem sifira esit?

---

düzelttim