Topolojik uzaylarda limit kavramının karakterizasyonu

Question

$(X,\tau),(Y,\sigma)$ topolojik uzaylar, $A\subseteq X,$ $f\in Y^A,$ $a \in D(A)$  ve  $L \in Y$  olsun.

$\lim_{x\to a }f(x)=L$  olması için gerek ve yeter koşul $g(x):=\left\{\begin{array}{ccc} f(x) & , & x\in A\setminus \{a\} \\ L & , & x=a\end{array} \right.$ kuralı ile verilen $g:(A \cup\{a\},\tau_{A\cup\{a\}}) \to (Y,\sigma)$ fonksiyonunun $a$ noktasında sürekli olmasıdır.

 

Not-1: $D(A):=\{x|x, A\text{'nın yığılma noktası}\}.$

Not-2: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $x\in X$ olmak üzere $\mathcal{N}(x):=\{N|N, \ x\text{'nın komşuluğu}\}.$

Not-3: $(X,\tau),(Y,\sigma)$ topolojik uzaylar, $A\subseteq X,$ $f\in Y^A,$ $a\in D(A)$ ve $L\in Y$ olsun.

$$\lim_{x\to a}f(x)=L:\Leftrightarrow (\forall V\in\mathcal{N}(L))(\exists U\in\mathcal{N}(a))(f[A\cap (U\setminus \{a\})]\subseteq V)$$

 

Comments

$g$ nin tanımı, $g(x):=\left\{\begin{array}{ccl} f(x) & , & x\in A \setminus\{a\}\\ L & , & x=a\end{array} \right.$

olsa daha doğru olur.

---

Evet. İlk yazıldığı şekliyle $a\in D(A)$ fakat $a\notin A$ durumu söz konusu edilmiş oluyor. Diğer durum da mümkün. Yani $a\in D(A)$ olduğunda $a\in A$ da olabilir. Bu yüzden $g$ fonksiyonunun kuralını $$g(x):=\left\{\begin{array}{ccl} f(x) & , & x\in A \setminus\{a\} \\ \\ L & , & x=a\end{array} \right.$$ şeklinde yazmak daha doğru olacaktır.

Answer 1

Ben gerek kısmının kanıtını vereyim yeter kısmını sana bırakayım @EbruKocatepe.

$(\Rightarrow):$ $\lim_{x\to a}f(x)=L$ olsun. Amacımız $g$ fonksiyonunun $a$ noktasında sürekli olduğunu göstermek. Yani $g(a)$ noktasının verilmiş bir $$V\in\mathcal{N}(g(a))$$ komşuluğu için $$g[U]\subseteq V$$ olacak şekilde $a$ noktasının en az bir $$U\in \mathcal{N}_{A\cup\{a\}}(a)$$ komşuluğunun var olduğunu göstermek.
$\left.\begin{array}{rr} V\in\mathcal{N}(g(a))  \\ \\ g(a)=L \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \mbox{} \\ \mbox{} \\  \left.\begin{array}{r} V\in\mathcal{N}(L) \\ \mbox{} \\ \lim\limits_{x\to a} f(x)=L \end{array}\right\}\Rightarrow\end{array}$

$\Rightarrow (\exists U_1\in \mathcal{N}(a))(g[(A\cup\{a\})\cap (U_1\setminus \{a\})]=f[(A\cup\{a\})\cap (U_1\setminus \{a\})]\subseteq V)$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists U_1\in \mathcal{N}(a))(g[(A\cup \{a\})\cap U_1]\subseteq V) \\ \\ U:=U_1\cap (A\cup \{a\}) \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists U\in \mathcal{N}_{A\cup\{a\}}(a))(g[U]\subseteq V).$