Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay, $(x_n)\in X^{\mathbb{N}}$  ve  $a,b\in X$  olsun.   $$(X,\tau), \ T_2 \text{ uzayı}\Rightarrow [(x_n\to a)(x_n\to b) \Rightarrow a=b]$$  olduğunu gösteriniz.

Comments

$T_2$ uzayi olmasi demek iki farkli nokta icin oyle komsuluklar vardir ki kesisimi bos kume demek degil mi ?

sanirim topolojik uzaylarda yakinsama da soyle oluyor, $x_n\to x_0$ ise $x_0$ in her komsulugu $\mathcal{U}$ icin oyle bir $N$ vardir ki her $n> N$ icin $x_n \in \mathcal{U}$ .

varsayalim ki $a$ ile $b$ farkli olsun. O zaman oyle $U_a$ ve $U_b$ komsuluklari vardir ki $U_a \cap U_b = \{\}$.

Ote yandan bu $U_a$ ve $U_b$ ler icin oyle $N_a$ ve $N_b$ ler vardir ki her $n>max(N_a,N_b)$ icin  $x_n \in U_a \land x_n \in U_b$

Celiski!

demek ki $a=b$

gibi nacizhane bir kanit onerim var. Dogrulugundan cok emin degilim

---

İki farklı noktanın kesişmeyen komşuluklarının olduğu her zaman doğru değil. Zaten soruda sorulan ifade de her topolojik uzayda doğru değil. Limitin biricik olması için uzayın Hausdorf olması gerekir.

---

Evet uzayin Haussdorf olmasini kullandik zaten kanitta ? keza soruda da uzayin Haussdorf ($T_2$) oldugu da belirtiliyor. Hepsinin otesinde Hausdorflugun tanimi da kanitin basinda yazdim. Soru zaten uzay Hausdorf ise limit biriciktir ifadesini ispatlayin diyor eger yanlis anlamadiysam

---

Başka uzaylarda limit birden fazla olabiliyor mu?

---

Evet söylediğiniz tanımlar doğru.

---

Uzay haussdorf olmadığı zaman limit birden fazla çıkabiliyor.

Answer 1

$(X,\tau), \ T_2$  uzayı$;$ $x_n\to a; \ x_n\to b$ olsun ve $a\neq b$  olduğunu varsayalım.

 

$\left.\begin{array}{rr} (X,\tau), \ T_2  \text{ uzayı} \\ \\ a\neq b\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists N\in\mathcal{N}(a))(\exists M\in\mathcal{N}(b))(N\cap M=\emptyset)\ldots (1)$

 

$\left.\begin{array}{rr} x_n\to a \\ \\ N\in\mathcal{N}(a) \end{array}\right\} \Rightarrow (\exists K_1\in\mathbb{N})(n>K_1\Rightarrow x_n\in N)\ldots (2)$

 

$\left.\begin{array}{rr} x_n\to b \\ \\ M\in\mathcal{N}(b) \end{array}\right\} \Rightarrow (\exists K_2\in\mathbb{N})(n>K_2\Rightarrow x_n\in M)\ldots (3)$

 

$\left.\begin{array}{rr} K:=\max\{K_1,K_2\} \\ \\ (2),(3) \end{array}\right\}\Rightarrow (K\in \mathbb{N})[(n>K\Rightarrow x_n\in N)\wedge (n>K\Rightarrow x_n\in M)]$

 

$\overset{(*)}{\Rightarrow} (K\in \mathbb{N})[n>K\Rightarrow (x_n\in N\wedge x_n\in M)]$

 

$\Rightarrow (K\in \mathbb{N})(n>K\Rightarrow x_n\in N\cap M)$

 

$\Rightarrow N\cap M\neq \emptyset\ldots (4)$

 

$(1),(4)\Rightarrow \text{Çelişki}.$

 

O halde varsayımımız yanlış. Dolayısıyla $$a=b$$ olmalıdır.

 

Not: $(*): (p\Rightarrow q)\wedge (p\Rightarrow r)\equiv p\Rightarrow (q\wedge r).$

Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay, $(x_n)\in X^{\mathbb{N}}$ ve $x\in X$ olsun.

$(1)$ $\mathcal{N}(x):=\{N|N, x\text{'in komşuluğu}\}$

$(2)$ $x_n\to x:\Leftrightarrow (\forall N\in\mathcal{N}(x))(\exists K\in\mathbb{N})(n>K\Rightarrow x_n\in N).$