Polinomların indirgenebilirliği

Question

İyi akşamlar sayın hocalarım.

Biliyoruz ki R üzerindeki bütün tek dereceli polinomlar indirgenebilirdir.

Acaba R değil de her hangi bir cisim için bu özellik geçerli olacak mıdır?

Hayırlı işler dilerim.

Comments

İndirgenemez polinom tanımı nedir?

$x^3-2$ polinomu $\mathbb{Q}$ cismi üzerinde indirgenebilir mi?

---

Çok güzel hocam teşekkür ederim

Answer 1

Doğan Dönmez Hoca'nın (son derece net) örneğinden farklı bir örnek vermek istiyorum.

$p$ bir asal olsun. (Sizin durumunuzda ayrıca $p>2$ olsun.) $p$ elemanlı $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} =\{0, 1, \ldots, p-1\}$ cismini ele alalım ve $\prod_{i=0}^{p-1} (X-i)$ polinomuna bakalım. (Bu polinom aslında $X^p-X$ polinomuna eşittir.) Bu polinom indirgenemez değil, hatta tam aksine, çok indirgenir, tam $p$ tane kökü var, $\mathbb{F}_p$'nin her elemanı bunun bir kökü. Bu polinoma 1 ekleyelim. Böylece $$f(X) = \prod_{i=0}^{p-1} (X-i) + 1 = X^p - X + 1$$ polinomunu elde ederiz. Elbette $f(X)$ polinomunun $\mathbb{F}_p$ cisminde kökü yoktur, ne de olsa her $i=0,1,\ldots, p-1$ için $f(i) = 1$. Şimdi $f(X)$ polinomunun indirgenemez olduğunu öne sürüyorum. ($f$'nin derecesi $p$ (yani tek) olduğundan, bu, size yeni bir karşıörnek verecek.) Önce $$f(X) = f(X+1) = \ldots = f(X+p-1)$$ eşitliğine dikkat çekeyim. Demek ki eğer $\mathbb{F}_p$'nin bir genişlemesinde bu polinomun bir kökü varsa, diyelim $\alpha$, o zaman $\alpha, \alpha + 1, \ldots, \alpha + p -1$ de aynı polinomun kökleridir, yani bir genişleme bir kök içeriyorsa tüm kökleri içerir.

$g(X) \in \mathbb{F}_p[X]$ polinomu $f(X)$ polinomunun indirgenemez bir çarpanı olsun, derecesi de $d$ olsun. (Amacımız $d=p$ eşitliğini göstermek.) $d>1$ tabii ki, yoksa $f$'nin $\mathbb{F}$'de bir kökü olurdu. $g$'nin bir kökünün olduğu bir cisim genişlemesini alalım, mesela $g(\alpha)=0$ koşulunu sağlayan bir $\alpha$ kökü için, $$\mathbb{F}_p < \mathbb{F}_p[\alpha] \simeq \mathbb{F}_p[X]/\langle g(X) \rangle \simeq \mathbb{F}_{p^d}$$ cismini. Indirgenemez olduğundan, $g(X)$, $\alpha$'nın minimal polinomudur.

$\alpha$ bu cisimde olduğu için $\mathbb{F}$ cisminin tüm kökleri bu cisimdedir, yani $$f(X) = \prod_{i=0}^n (x- \alpha - i)$$ olur. Tabii ki (bir polinom tek bir biçimde indirgenemezlerine ayrıştığı için) $g(X)$ de bu $(x- \alpha - i)$'lerin bazılarının çarpanları olur.

Ayrıca $i\in \{0, 1, \ldots, p-1\}$ için $g(X-i)$ de indirgenemez polinomdur (çünkü eğer $a\neq 0$ ise bir polinomu $aX + b$'de değerlendirmek polinom halkasının bir otomorfisidir, dolayısıyla indirgenemezler bu dönüşüm altında indirgenemez kalırlar). Dolayısıyla $f$'nin tüm indirgenemezleri, ($\alpha + i$'nin minimal polinomu olan) $g(X-i)$ biçimindedir, ama tabii bu $g(X-i)$'lerin bazıları eşit olabilir. Demek ki $f(X)$ polinomu, bazı $i$'ler için $g(X-i)$ polinomlarının çarpımıdır. Diyelim $f(X)$ polinomu $k$ tane $g(X-i)$ türünden polinomun çarpımı. Ama $g(X-i)$'lerin dereceleri eşit olduğundan (hepsinin derecesi $d$), $p= \deg(f) = kd$ olur. Ama $p$ asal olduğundan, bundan,  $d=p$ çıkar, yani $f(X) = g(X)$ olur ve dolayısıyla $f(X)$ indirgenemezdir.

Burada, $\prod_{i=0}^{p-1} (X-i) = X^p-X$ polinomuna 1 ekledik, ama $\mathbb{Z}_p \setminus \{0\}$ kümesinden herhangi bir eleman da ekleyebilirdik, sonuç değişmezdi, elde edilen polinom hâlâ indirgenemez olur. Daha genel olarak, $q$, $p$ asalının bir kuvveti ise, $q$ elemanlı $\mathbb{F}_q$ cismini ele alalım. $x \mapsto x^p - x$ kuralıyla verilmiş fonksiyon $\mathbb{F}_q$ toplamsal grubunun bir andomorfisidir, ama birebir değildir, çekirdeği tam olarak $\mathbb{F}_p$'dir. Demek ki bu andomorfi örten olamaz. $b \in \mathbb{F}_q$, imgede olmayan bir eleman olsun. O zaman $$f(X) = \prod_{i=0}^{p-1} (X-i) + b = X^p - X + b \in \mathbb{F}_q[X]$$ polinomu indirgenemezdir. Kanıt aynen yukarıdaki gibi. $\mathbb{F}_q < \mathbb{F}_q[X]/\langle f(X) \rangle \simeq \mathbb{F}_{q^p}$ cisim genişlemelerine Artin-Schreier cisim genişlemeleri denir. Kolayca görüleceği üzere, $\mathbb{F}_q$'nun derecesi $p^k$ olan her cisim genişlemesi $k$ tane ardışık Artin-Schreier cisim genişlemesidir.

Answer 2

Sonlu cisimler üzerinde her derece için indirgenemez polinom bulmak mümkün.
Bu indirgenemez polinomlarla cisim genişlemesi elde etmek de kolay. Bölüm halkası.
Ek olarak isomorfizimler vs bir adet sonlu cisim vardır.
Bunları ister vektör cismi olarak gör, ister matrislerle üret fark etmez. İzomorfizmalar altında biriciktir.

Şöyle bir ek durumda var ki, herhangi bir sonlu genişlemesi de bir sonlu cismin kapanışını vermez.
Rasyonel sayılar için de aynısı doğru. (Buradaki bir polinom örneği de Doğan Dönmez vermişti.)
Bunun yanı sıra gerçel sayılar böyle değil, derecesi $2$ olan bir yükseltmesi kapanışını da veriyor.
Bu da karmaşık sayılar cismi.

Gerçel katsayılı bir polinomun karmaşık bir kökü varsa eşneliği de köküdür gibi birçok basit sav var.
Bu nedenle verdiğin kök içerme (ya da indirgenebilirlik) savını ispatlamak da kolay.

Sorunu şöyle de sorabilirsin ya da düşünebilirsin de:
Hangi cisimler için bazı derecelerde köke (ya da indirgenebilrliğe) garanti sahip olabiliriz?

Comments

Sitede yazı renklendirmesi vardı eskiden, ilk kısmı gri yapacaktım (gereksiz gördüğümden sildim). Geri eklense iyi olur. bi Salih'e diyeyim.

---

Siz bilmessiniz,eskiden insanlar matematik öğrenmek için tüp kuyruğuna girerdi.

ya.

---

Zeka tüpü mü?

---

bende bilmem.

---

Aslından anesin'in cevabına yönelik kısımda oradaydı ama sildiğim için yok. Oraya bi referans da vermiştim. Sonrasında sonlu cisimlerden başladım.

Ha işim gereği sonlu cisime dalmazsam ayıp olur tabii, orası da ayrı.

---

sonlu cisim özel ders kaça ?

---

pahalı. öbür dönem vercem, gel dinlemeye.

---

link atarsınız

---

gelecem bu arada,son yazım trol değildi.