Kısmi türevler ve $\langle x,y \rangle$ ideali

Question

Hangi iki degiskenli $f(x,y)$ polinomlari icin $\langle \partial_x f, \partial_y f \rangle = \langle x,y\rangle$ esitligi saglanir? Asagida bazilarini yazdim, en genel sekilde nasil ifade edebilirim bunlari?

• $f(x,y) = x^2 + y^2$,
• $f(x,y) = xy$,
• $f(x,y) = xy + y^n \quad n \geq 2$
• $f(x,y) = xy + x^n \quad n \geq 2$

Ornegin sonuncusu icin $$\langle  \partial_x f, \partial_y f \rangle = \langle y + nx^{n-1},x \rangle = \langle x, y \rangle$$ oldugunu goruyoruz cunku $$y + nx^{n-1} = nx^{n-2}\; x + 1  y\in \langle x, y \rangle\; \\x  = 1 x  + 0 y \in \langle x,y \rangle$$

ve dolayisiyla $\langle \partial_x f , \partial_y f\rangle \subseteq \langle x, y \rangle$ ve de 

$$x = 0(y+nx^{n-1}) + 1x \in \langle \partial_x f , \partial_yf\rangle \\ y = 1(y+nx^{n-1}) + (-nx^{n-2})x \in \langle \partial_x f, \partial_y f \rangle$$ ve dolayisiyla $\langle x,y \rangle \subseteq \langle \partial_x f , \partial_y f \rangle$.

Baska ornekler var mi? Varsa en genel hal nedir? Uc degiskenliler icin ne soyleyebiliriz?

Comments

Soyle bir yol denenebilir. (Ben sonra tekrar bakarim bu soruya, kafamdaki isler bitince.. islemleri genel halinde acip gormek gerekli gibi).

Esitlik saglansin diyelim. $$af_x+bf_y=x \;\;\; \text{ ve }\;\;\; cf_x+df_y=y$$ olacak sekilde $a,b,c,d \in \mathbb R$ olursa... 

Bunlarin $x$ ve $y$ turevlerini alalim. Sureklilik de var sonucta...  $$af_{xx}+bf_{xy}=1\;\;\; \text{ ve }\;\;\; cf_{xx}+df_{xy}=0$$ ve $$af_{xy}+bf_{yy}=0 \;\;\; \text{ ve }\;\;\; cf_{xy}+df_{yy}=1$$ olur. Bu durumda $$\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]$$ olur. Buradan $ad-bc \ne 0$ olmali sonucunu cikartiriz ve $$\left[\begin{matrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{matrix} \right]=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{matrix} d & -c\\ -a& b \end{matrix} \right]$$ olur. Bu esitligin saglanmasi icin de $a=c$ saglanmali.

---

$a,b,c,d$ reel sayi yerine polinom da olabilir. Yazmadim soruda ama ideal derken polinom halkasinin idealinden bahsediyorum. Ayrica aslina bakacak olursan polinom halkasinin $f$ ile gerilen idealine bolundugu halkadan bahsediyorum.

---

Onu biliyorum da, bu özel durum çözümü, öyle olursa manasında.. Geneli karışacak gibi. Biraz oturup çözmeye çalışmam lazım.

---

Çok güzel soru.