$p$ asal tamsayı olmak üzere $\Bbb{Z}_{p}$ üzerinde monik indirgenmez ve kuadratik polinomların sayısı nedir?

Question

Bu sayı $\frac{1}{2}p(p-1)$ imiş.

Answer 1

Bir sorudaki cevapta bunun sayisini vermistim, farkli bir soruydu yanlis hatirlamiyorsam. Fakat burada farkli bir cevap verecegim

$\mathbb F_{p^2}\backslash \mathbb F_p$ kumesindeki her elemanin minimal polinomunun derecesi $2$ olur ve derecesi $2$ olabilecek tum elemanlar da bu kumunin icinde (Galois). Derecesei $2$ oldugundan konjugesiyle, yani $\alpha$ ise $\alpha^p$ ile minimal polinomlari es olacak.

Daha detayli olarak her $\alpha \in \mathbb F_{p^2}\backslash \mathbb F_p$ icin $$(x-\alpha)(x-\alpha^2)$$ polinomu $\mathbb F_p$ uzerinde ikinci dereceden indirgenemez polinom olur. 

$|\mathbb F_{p^2}\backslash \mathbb F_p|=p^2-p$ ve her iki eleman icin bir adet ikinci dereceden indirgenemez polinom geldiginden istenen sayi $$\frac12(p^2-p)=\frac12p(p-1)$$ olur.