Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\mathcal{A}\subseteq 2^X$ olmak üzere $$\cup_{A\in\mathcal{A}}\delta\text{-}int(A) \subseteq\delta\text{-}int(\cup\mathcal{A})$$ olduğunu gösteriniz.

NOT: $A, \text{regüler açık}: \iff A=int(cl(A))$

$RO(X):=\{A | (A \subseteq X)(A ,\text{regüler açık})\}$

$\delta\text{-}int(A):=\cup\{U | ( U\subseteq A) (U\in RO(X))\}$

Answer 1

$x\in \cup_{A\in\mathcal{A}}\delta\text{-} int(A)$ olsun. (Amacımız $x\in \delta\text{-}int(\cup \mathcal{A})$ oldğunu göstermek.)

$x\in \cup_{A\in\mathcal{A}}\delta\text{-}int(A) \Rightarrow (\exists A\in \mathcal{A})(x \in \delta\text{-}int(A))$

                                $\Rightarrow (\exists A\in \mathcal{A})(\exists U\in RO(X,x))(U\subseteq A \subseteq \cup \mathcal{A})$

                               $\Rightarrow x \in \delta\text{-}int(\cup\mathcal{A})$