Topolojik uzaylarda bazlara dair

Question

$X\neq\emptyset$ ve $\mathcal{B}\subseteq 2^X$ olsun. $$(\exists\tau\subseteq 2^X)(\tau, X\text{'de topoloji})(\mathcal{B}, \tau\text{ için baz})$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\mathbf{b_1)} \ \cup\mathcal{B}=X$$ $$\mathbf{b_2)} \ (\forall B_1,B_2\in\mathcal{B})(\exists \mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(B_1\cap B_2=\cup \mathcal{A})]$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Gerek Kısmı: $\tau$ ailesi, $\mathcal{B}$ ailesini baz kabul eden bir topoloji olsun. İlk olarak $\bigcup\mathcal{B}=X$ olduğunu gösterelim.

$\left.\begin{array}{r} X\in\tau \\ \\ \mathcal{B}, \ \tau \text{ için baz} \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{rr} (\exists\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(X=\bigcup \mathcal{A}\subseteq \bigcup\mathcal{B}) \\ \\ \mathcal{B}\subseteq 2^X\Rightarrow \bigcup\mathcal{B}\subseteq X \end{array} \right\} \Rightarrow \bigcup\mathcal{B}=X. \end{array}$

 

Şimdi de $B_1,B_2\in\mathcal{B}$  olsun. Amacımız $B_1\cap B_2$ kümesinin $\mathcal{B}$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazılabileceğini göstermek.

$\left.\begin{array}{r} B_1,B_2\in\mathcal{B} \\ \\ \mathcal{B}\subseteq \tau   \end{array} \right\}\begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{rr} \Rightarrow B_1, B_2\in \tau\Rightarrow B_1\cap B_2\in\tau  \\ \\ \mathcal{B}, \ \tau \text{ için baz} \end{array} \right\} \Rightarrow (\exists\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(B_1\cap B_2=\bigcup \mathcal{A}). \end{array}$

 

Yeter Kısmı: Öyle bir $\tau$ ailesi yazmalıyız ki bu $\tau$ ailesi, hem $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olsun hem de $\mathbf{(b_1)}$  ve  $\mathbf{(b_2)}$ koşullarını sağlayan $\mathcal{B}$ ailesi, bu $\tau$ topolojisi için bir baz olsun. Bir aile bir topoloji için baz ise o topolojinin bütün elemanlarını (baz tanımı gereği) bazın bir altailesinin birleşimi şeklinde yazabiliyoruz. O halde $\tau$ için en iyi seçim $$\tau=\left\{\bigcup\mathcal{B}^*|\mathcal{B}^*\subseteq\mathcal{B}\right\}$$ olacaktır. Şimdi bu $\tau$ ailesinin bir topoloji olduğunu gösterelim. Bu $\tau$ ailesi bir topoloji ise $\mathcal{B}$ ailesinin bu topoloji için bir baz olacağı açık.

 

$\mathbf{T_1)}$ $\emptyset,X\in\tau$ olduğunu gösterelim.

$\left.\begin{array}{rr} \mathcal{B}^*:=\emptyset\Rightarrow (\mathcal{B}^*\subseteq \mathcal{B})(\bigcup\mathcal{B}^*\in\tau) \\ \\ \tau=\{\bigcup\mathcal{B}^*|\mathcal{B}^*\subseteq\mathcal{B}\} \end{array}\right\}\Rightarrow \emptyset\in\tau.$

 

$\left.\begin{array}{rr} \mathcal{B}^*:=\mathcal{B}\Rightarrow (\mathcal{B}^*\subseteq \mathcal{B})(\bigcup\mathcal{B}^*\in\tau) \\ \\ \tau=\{\bigcup\mathcal{B}^*|\mathcal{B}^*\subseteq\mathcal{B}\} \end{array}\right\}\Rightarrow \bigcup\mathcal{B}^*=\bigcup\mathcal{B}\in\tau\overset{\mathbf{(b_1)}}{\Rightarrow} X\in\tau.$

 

$\mathbf{T_2)}$ $A,B\in\tau$ olsun. $A\cap B\in\tau$ olduğunu gösterelim.

$\left.\begin{array}{rr} A,B\in\tau\Rightarrow (\exists \mathcal{B}_1\subseteq \mathcal{B})(\exists \mathcal{B}_2\subseteq \mathcal{B})(A=\bigcup\mathcal{B}_1)(B=\bigcup\mathcal{B}_2) \\ \\ \mathfrak{T}:=\{\mathcal{A}|(A_1\in\mathcal{B}_1)(A_2\in\mathcal{B}_2)\overset{\mathbf{(b_2)}}{\Rightarrow} (\exists \mathcal{A}\subseteq\mathcal{B})(A_1\cap A_2=\bigcup\mathcal{A})\}\end{array}\right\}\Rightarrow$

 

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\mathcal{B}^*:=\bigcup\mathcal{A}^*\subseteq \mathcal{B})(A\cap B=(\bigcup\mathcal{B}_1)\cap(\bigcup\mathcal{B}_2)=\bigcup(\bigcup\mathfrak{T})=\bigcup\mathcal{B}^*)\\ \\  \tau=\{\bigcup\mathcal{B}^*|\mathcal{B}^*\subseteq\mathcal{B}\} \end{array}\right\}\Rightarrow$

 

$\Rightarrow A\cap B\in\tau.$

 

$\mathbf{T_3)}$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$ olsun. $\bigcup \mathcal{A}\in\tau$ olduğunu gösterelim.

 

$\mathcal{A}\subseteq \tau \Rightarrow (\forall A\in\mathcal{A})(\exists\mathcal{B}_A^*\subseteq \mathcal{B})(A=\bigcup\mathcal{B}_A^*)$

 

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\mathcal{B}^*:=\bigcup\{\mathcal{B}_A^*| A\in\mathcal{A}\}\subseteq \mathcal{B})(\bigcup\mathcal{A}=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}(\bigcup\mathcal{B}_A^*)=\bigcup\mathcal{B}^*) \\ \\ \tau=\{\bigcup\mathcal{B}^*|\mathcal{B}^*\subseteq\mathcal{B}\}  \end{array}\right\}\Rightarrow$

 

$\Rightarrow \bigcup\mathcal{A}\in\tau.$