Sonlu kümeler üzerinde her önsıralama bir topolojiye denktir, her topoloji ise bir önsıralamaya denktir.

Question

"Sonlu kumelerde preorderlar ile topolojiler arasinda birebir bir baginti vardir " ifadesi dogru mu ?

Comments

@eloi senin sorunun yanıtı aşağıdaki linkte olabilir.

https://oeis.org/search?q=1%2C4%2C29%2C355&sort=&language=english&go=Search

---

Inceledim hocam tam olarak aradigim bu evet

Answer 1

Soyle bir denemem oldu

Bir iliskiye onsiralama diyoruz eger gecisken (transitive) ve refleksif ise.

$(X,\tau)$ bir topolojik uzay olsun. Soyle bir iliski tanimlayacagiz

$x$ in bulundugu her acik kumede $y$ var ise $x\leq y$ diyecegiz.

Bu iliski transitif ve refleksif. Cunku

1. $x$ in bulundugu her acik kumede $x$ var yani $x\leq x$ 
2. $x$ in bulundugu her acik kumede $y$ var ise ($x \leq y$ ) ve $y$ nin bulundugu her acik kumede $z$ var ise ($y \leq z$), dogal olarak $x$ in bulundugu her acik kumede $z$ de vardir ($x \leq y \land y \leq z \implies x \leq z$)

[hatta sanirim $f$ sureklidir ancak ve ancak $x \leq y \implies f(x) \leq f(y)$]

 

Simdi obur yonde gitmek icin sanirim sunu yapmamiz gerekiyor

$(X,\leq)$ bir onsiralama olsun. $B=\{x\in X : \{y \in X : x \leq y\}\}$, ailesinin bir topoloji icin baz oldugunu iddia edicem. Bu su demek

$\bigcup_{x\in B}x =X$ ve $\bigcap_{i=1}^nx_i =\bigcup_{x\in B}x$

kotu yazdim galiba ama demeye calistigim sey $B$ $X$ i coverlayacak (cevreleyecek? kapayacak ? kaplayacak ?) ve $B$ deki her sonlu kesisimi, $B$ den kumelerin birlesimi olarak ifade edebilecegiz.

$B$ deki tum kumelerin birlesimlerinin, $X$e esit oldugunu, $\leq$ in refleksif olmasindan anlayabiliriz. $x \leq x$ oldugu icin $X$ teki herhangi bir eleman $e$, $B$ deki bir elemanin elemani olmali.

Sanirim $\leq$ in transitif olmasi bir sekilde $B$ deki sonlu kesisimler kismina denk gelecek ama henuz kafamda sekillendiremedim.

 

Daha sonra sanirim bu iki transformasyonu arka arkaya uyguladigimda elmie gecen topolojinin/preorderin orjinaline homeomorf/monoton olmasini gostermem gerekiyor? bu son adimdan cok emin degilim. Belki sadece ilk ikisi de yeterdi