Bir fonksiyonun süreksiz olduğu noktaları atsak geriye kalan fonksiyon sürekli olur mu?

Question

$(X,\tau),\ (Y,\tau')$ iki topolojik uzay, $f:X\to Y$ bir fonksiyon olsun.

$A=\{x\in X:f,\ x\text{'de süreksiz}\}\subseteq X$ olsun.

$($Eğer $A\neq X$ ise, $X\setminus A$ de alt uzay topolojisi alalım) $f\mid_{X\setminus A}:X\setminus A\to Y$ (kısıtlanmış fonksiyon) sürekli olur mu?

Comments

Ben de "kendini bu kadar iyi ifade eden biri nasıl olur da bunun cevabını bilemez" diye kendi kendime soruyordum. Meğer soruyu Doğan Hocamız sormuş...

---

Karisiklik olmamasi icin $f:X\to Y$ ve $\hat{f} : X\setminus A \to Y$ seklinde orjinal ve kisitlanmis fonksiyon arasinda ayrim yapmak istedim.

$X\setminus A$ uzerindeki topoloji $\tau_{X\setminus A} = \{U\cap(X\setminus A) : U \in \tau\}$ seklinde veriliyor yanilmiyorsam. $Y$ uzayindaki her acik kumenin ongoruntusunun acik olmasini istiyoruz ki $\hat{f}$ surekli olsun.

 

2. Duzeltme sonrasi](

$x \in X$ icin  $f$ $x$de sureksiz ise, $\hat{f}^{-1}(f(x))$ bos kume olacak yani acik kume.

Yok eger $f$ $x$ de surekli ise $f(x)$ e eleman olarak sahip olan her acik kume $V$ icin $\tau$ da oyle bir $U$ kumesi var ki $x \in U$ ve $U \subseteq f^{-1}(V)$.

$x$ $f$ te surekli oldugu icin $x \in X\setminus A$. Yukarida verilen her $U$ nun $X\setminus A$ ile kesisimi alt kume topolojisinde olacak. Her acik kumenin ongoruntusu acik kume oldugu icin onerme dogrudur.
)

 

[1. Duzeltme sonrasi](

$x \in X$ icin  $f$ $x$de sureksiz ise, $\hat{f}$ in ongoruntusu bos kume olacak yani acik kume.

Yok eger $f$ $x$ de surekli ise $f$ in ongoruntusu $\tau$ nun elemani (oyle mi gercekten?) dolayisiyla $\tau_{X\setminus A}$ nin da elemani.
)

[Orjinal]

(

$y \in Y$ icin  $f$ $y$de sureksiz ise, $\hat{f}$ in ongoruntusu bos kume olacak yani acik kume.

Yok eger $f$ $y$ de surekli ise $f$ in ongoruntusu $\tau$ nun elemani (oyle mi gercekten?) dolayisiyla $\tau_{X\setminus A}$ nin da elemani.
)
Gibi bir sekilde akil yuruttum dogru mu acaba?

---

"$y\in Y$ icin  $f,\ y$ de sureksiz ise" pek anlamlı değil.

"$x\in X\setminus A$ olsun" şeklinde başlayablirsin.

---

Ah evet tesekkurler. Duzeltiyorum simdi

---

"$f$ nin ongoruntusu"  hangi kümenin öngörüntüsü?

---

Cok Tesekkurler hocam yeniden degistirdim.

---

"$f,\ x$ de sureksiz ise, $f^{-1}(f(x))$ bos kume olacak "

Bundan emin misin?

---

Emin degilim. O yuzden stratejimi degistiriyorum. Bir fonksiyon her noktada surekli ise o fonksiyon sureklidir. yanlis kanitimin yarisinda her $x \in X \setminus A$ icin f in surekli oldugunu gosterdigimi dusunuyorum.

---

uyuyup salim kafayla yeniden bakayim ben buna bence :)

---

"$\tau$ nun elemani (oyle mi gercekten?) dolayisiyla $\tau_{X∖A}$ nin da elemani. "

$\tau\subseteqq \tau_{X∖A}$ mi?

---

hayir degil . $f^{-1}(x) \in\tau$ ve bundan dolayi $f^{-1}(x)\cap(X\setminus A) \in \tau_{X\setminus A}$ demek istemistim. Ama boyle olsa bile oncesinde noktadaki surekliligin tanimina verdigim sey yanlis, sonraki duzeltmemde noktasal surekliligin tanimina bakip degistirdim.

---

Siz hep tek noktanın ters görüntüsünü bulmaya çalışıyorsunuz.

Sürekllikte açık kümelerin ters görüntüsü önemlidir.

Bu O soruda, $\mathbb{Z}$ nin topolojisi ayrık topoloji olduğu (ve ayrık topolojide tek nokta kümeler bir baz olduğu) için, tek noktanın ters görüntüsü incelendi.

Answer 1

$a\in X\setminus A$  ve  $V\in\mathcal{U}(f(a))=\mathcal{U}(f|_{X\setminus A}(a))$  yani  $V$  kümesi,  $f|_{X\setminus A}(a)=f(a)$  noktasının bir açık komşuluğu olsun.

$\left.\begin{array}{rr}a\in X\setminus A\Rightarrow f, \ a\text{'da sürekli}  \\ \\ V\in\mathcal{U}(f(a))=\mathcal{U}(f|_{X\setminus A}(a)) \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{rr} (\exists U\in\mathcal{U}(a))(f[U]\subseteq V)\\ \\ a\in X\setminus A\end{array}\right\}\Rightarrow \end{array}$

 
$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (U\cap (X\setminus A)\in \mathcal{U}_{X\setminus A}(a))(f[U]\subseteq V) \\ \\  T:=U\cap (X\setminus A)\end{array}\right\}\Rightarrow$

 
$\Rightarrow (T\in\mathcal{U}_{X\setminus A}(a))(f|_{X\setminus A}[T]\subseteq f[U]\subseteq V).$
 

O halde $f|_{X\setminus A}$ fonksiyonu $a$ noktasında süreklidir. $a$ noktasını keyfi seçtiğimize göre $f_{X\setminus A}$ fonksiyonu $X\setminus A$ kümesindeki her noktada süreklidir. Dolayısıyla $f|_{X\setminus A}$ fonksiyonu süreklidir.

Comments

Bu ispatı 2 teorem kullanarak şöyle kısaltabiliriz:

İçerme dönüşümü $\imath:X\setminus A\to X,\quad (\imath(x)=x)$ (alt uzay topolojisi kullandığımız için) süreklidir.

$\forall x\in X\setminus A$ için $\imath,\ x$ de süreklidir (sürekliliğin eşdeğer şekli. Genellikle, topoloji derslerinde teorem olarak ispatlanır.)

$\forall x\in X\setminus A$ için $f,\ x=\imath(x)$ de süreklidir.

$\forall x\in X\setminus A$ için, bileşke $f\circ \imath=f\mid_{X\setminus A},\ x$ de süreklidir. (Genellikle, topoloji derslerinde teorem olarak ispatlanır.)

$f\mid_{X\setminus A}$  süreklidir (sürekliliğin eşdeğer şekli).

---

Hocam $\iota$, $i$ ve $f$ ne? benim kafam karisti

---

İkisi aynı (ben yukarıda düzelttim). EK: $f$, verilen ($f:X\to Y$ herhangi bir) fonksiyon

Orada da yazdığım gibi $\forall x\in X\setminus A$ için $\imath(x)=x$

$\imath$ :içerme=inclusion