$\theta\text{-}$kompakt ve $\tau\text{-}$kompakt arasındaki ilişki

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve  $A\subseteq X$ olmak üzere

$(a) \ '' A, \theta\text{-kompakt} \Rightarrow A, \tau\text{-kompakt} \ ''$ önermesi doğru mudur?

$(b) \ '' A, \tau\text{-kompakt} \Rightarrow A, \theta\text{-kompakt} \ ''$ önermesi doğru mudur?

 

$\textbf{Not:} \ (X,\tau)$ topolojik uzay ve  $A\subseteq X$ olmak üzere

$$A, \theta\text{-kompakt} :\Leftrightarrow (\forall \mathcal{A} \subseteq \tau) \big{[}A\subseteq \cup\mathcal{A} \Rightarrow (\exists \mathcal{A^{*}}\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A^{*}}|<\aleph_{0})(A\subseteq (\cup\{\overline{U} :U\in\mathcal{A^{*}} \})^\circ) \big{]}$$
$$A, \tau\text{-kompakt} :\Leftrightarrow (\forall \mathcal{A} \subseteq \tau) \big{[}A\subseteq \cup\mathcal{A} \Rightarrow (\exists \mathcal{A^{*}}\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A^{*}}|<\aleph_{0})(A\subseteq \cup\mathcal{A^{*}}) \big{]}$$

Answer 1

$(b)$ şıkkını inceleyelim:

$A,\tau$-kompakt olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A,\tau \text{-kompakt} \Rightarrow (\forall \mathcal{A} \subseteq \tau) \big{[}A\subseteq \cup\mathcal{A} \Rightarrow (\exists \mathcal{A^{*}}\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A^{*}}|<\aleph_{0})(A\subseteq \cup\mathcal{A^{*}}) \big{]} \\ \\ \cup\mathcal{A^{*}}=\cup\{U|U\in\mathcal{A}^{*}\} \end{array}\right\} \Rightarrow$

 

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\forall \mathcal{A} \subseteq \tau) \big{[}A\subseteq \cup\mathcal{A} \Rightarrow (\exists \mathcal{A^{*}}\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A^{*}}|<\aleph_{0})(A\subseteq \cup\{U|U\in\mathcal{A}^{*}\}) \big{]} \\ \\ \cup\{U|U\in\mathcal{A}^{*}\} \subseteq \cup\{\overline{U}|U\in\mathcal{A}^{*}\} \end{array}\right\} \Rightarrow$

 

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\forall \mathcal{A} \subseteq \tau) \big{[}A\subseteq \cup\mathcal{A} \Rightarrow (\exists \mathcal{A^{*}}\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A^{*}}|<\aleph_{0})(A\subseteq \cup\{U|U\in\mathcal{A}^{*}\}\subseteq \cup\{\overline{U}|U\in\mathcal{A}^{*}\} )\big{]} \\ \\ ((X,\tau),\text{topolojik uzay}) \\ \\ \cup\{U|U\in\mathcal{A}^{*}\} \subseteq \cup\{\overline{U}|U\in\mathcal{A}^{*}\} \Rightarrow (\cup\{U|U\in\mathcal{A}^{*}\})^\circ \subseteq (\cup\{\overline{U}|U\in\mathcal{A}^{*}\})^\circ \end{array}\right\} \overset{Neden?}\Rightarrow$

 

$\Rightarrow (\forall \mathcal{A} \subseteq \tau) \big{[}A\subseteq \cup\mathcal{A} \Rightarrow (\exists \mathcal{A^{*}}\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A^{*}}|<\aleph_{0})(A\subseteq (\cup\{\overline{U} :U\in\mathcal{A^{*}} \})^\circ) \big{]}$

 

$\Rightarrow A, \theta\text{-kompakt}.$

Answer 2

(a) şıkkını inceleyelim:

$(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzay ve $A=(0,1)\subseteq\mathbb{R}$ olsun. O halde,

$A,\theta$-kompakt olmasına karşın (Neden?) $A,\mathcal{U}$-kompakt olmadığından (Heine-Borel teoremi gereğince) söz konusu önerme yanlıştır.

Şimdi (Neden?) sorusunu açalım:

$A,\theta$-kompakt olmadığını varsayalım ve $\mathcal{A}=\{(-n,n):n\in\mathbb{N}\}\subseteq\mathcal{U}$ olsun. $A,\theta$-kompakt olmadığına göre

$$(\exists \mathcal{A} \subseteq \tau) \big{[}A\subseteq \cup\mathcal{A} \wedge(\forall \mathcal{A^{*}}\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A^{*}}|\ge\aleph_{0})(A\not\subseteq (\cup\{\overline{U} :U\in\mathcal{A^{*}} \})^\circ) \big{]}$$

önermesi doğru olur. Bu önerme her $\mathcal{A}^{*}$ alt ailesi için doğru olduğundan özel olarak

$$\mathcal{A}^{*}:=\mathcal{A}=\{(-n,n):n\in\mathbb{N}\}$$

ailesi içinde doğru olur. Buradan da

$$A=(0,1)\subseteq(\cup\{\overline{U} :U\in\mathcal{A^{*}} \})^\circ=(\cup\{[-n,n] : n\in\mathbb{N} \})^\circ$$

çelişkisini elde ederiz. O halde varsayımımız yanlıştır. Yani $A,\theta$-kompakt olur.