Question

$a,b>0$ ve $n \geq2$ olmak üzere, $\sqrt[n]{a+b} <\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}$ olduğunu gösteriniz

Answer 1

Tümevarım (induction) yöntemiyle sonuca ulaşmak mümkün gibi görünüyor ama bence başka bir yol izlemek istiyorum.

$x,y>0$ olmak üzere her $n\geq 2$ için, kolayca ispatlanabilecek

$$\begin{equation} x<y \iff x^n<y^n\end{equation}$$

önermesine göre, (bu önerme biraz daha genelleştirilebilir fakat şu haliyle işimize yarıyor)

$$\begin{equation} \sqrt[n]{a+b}<\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\end{equation}$$ ifadesinin sağlanabilmesi için gerek ve yeter koşul

$$\begin{equation} (\sqrt[n]{a+b})^n=a+b<(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b})^n\end{equation}$$ ifadesinin sağlanması ki bu zaten

$$\begin{equation} (\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b})^n=a+b+\text{birazcık pozitif terimler} \end{equation}$$ eşitliğinde açık olarak görülüyor.

Sezgisel olarak neden böyle olduğunu anlamak da zor değil. Nitekim pozitif sayılar üzerindeki kuvvet alma işlemi, toplam üzerinde daha büyük sonuçlar veriyor. Kök alma işleminde de toplam üzerinde daha küçük sonuçlar vermesi gerekir.