Elektromanyetizma Denklemlerine Maxwell'in Müdahalesinin Matemetiği

Question

Maxwell öncesi EM denklemleri,

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \dfrac{1}{\epsilon_{0}}\rho$$
(1) Gauss Yasası

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$$
(2) Gilbert Yasası

$$\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$
(3) Faraday Yasası

$$\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_{0} \vec{J}$$
(4) Ampere Yasası

dir. Ayrıca bir yerel yük korunumu

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{J} + \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0$$
(5)

dir.
 

Vektör analizinden $\vec{m}$ herhangi bir vektör olmak üzere,

$$\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{m} )= 0$$
(6)

dır. Bu bilgiler ışığında $(4)$ nolu denklemin her iki tarafın da iç çarpım türevini alırsak,

$$\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B} )= 0$$
(7)

iken, diğer taraf $(5)$ den

$$\vec{\nabla} \cdot \mu_{0} \vec{J} \neq 0$$
(8)

değildir. $(4)$ ile $(5)$ arasındaki sorunu çözelim.

Answer 1

Maxwell, bu durumu düzeltmek için $(4)$ deki akım yoğunluğu vektörünün yanına bir kayıp terim ekledi. Bu kayıp terim $\vec{X}$ olsun. Bu terimi $(4)$ e eklediğimizde $(4)$,


$$\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_{0} \vec{J} + \vec{X}$$
(9)

halini alır. ve şimdi $(9)$ un iç çarpım türevini alalım,


$$\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B} )= \vec{\nabla} \cdot (\mu_{0} \vec{J} + \vec{X})$$
$$\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B} )= \mu_{0} \vec{\nabla} \cdot \vec{J} + \vec{\nabla} \cdot \vec{X}$$
$$0 = \mu_{0} \vec{\nabla} \cdot \vec{J} + \vec{\nabla} \cdot \vec{X}$$
(10)

olur. $(5)$ i


$$\vec{\nabla} \cdot \vec{J} = - \dfrac{\partial \rho}{\partial t}$$


şeklinde yazıp $(10)$ a yerleştirirdiğimizde


$$0 = - \mu_{0} \dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \vec{X}$$
(11)

yi elde ederiz. $\rho$ yu Gauss Yasası $(1)$ den,


$$\rho = {\epsilon_{0}} \vec{\nabla} \cdot \vec{E}$$


şeklinde yazıp $(11)$ e yerleştirdiğimizde


$$0 = - \mu_{0} {\epsilon_{0}} \dfrac{\partial \vec{\nabla} \cdot \vec{E}}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \vec{X}$$
(12)

olur ve $(12)$ yi


$$0 = \vec{\nabla} \cdot (- \mu_{0} {\epsilon_{0}} \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \vec{X} )$$
(13)

şeklinde düzenlediğimizde, kayıp terim $\vec{X}$ i


$$\vec{X} = \mu_{0} {\epsilon_{0}} \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$
(14)

olur. $\mu_{0} {\epsilon_{0}}$ de $c$ ışık hızı olmak üzere


$$\mu_{0} {\epsilon_{0}} = \dfrac{1}{c^2}$$
(15)

dir.

Kayıp terim katkısıyla EM denklemlerini yeniden yazalım:


$$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \dfrac{1}{\epsilon_{0}}\rho$$
$$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$$
$$\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$
$$\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_{0} \vec{J} + \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$
 

Kaynakça 

Classical Electrodynamics, David Jackson, 2.Baskı

Introduction to Electrodynamics, David Griffiths, 2.Baskı

Haluk Beker (EMT) Ders Notları,