Wheatstone Köprüsünün Matematiği

Question

Yukarıda görmüş olduğunuz devre, dirençlerin hassas ölçümlerinin yapılmasında yararlanılan Wheatstone köprüsünün biraz değiştirilmiş halidir.

Şekildeki devrenin eşdeğer direnci $R_{es}$'i veren genel geçer bir formül bulalım. Aramızda elektriksel çözümlere aşina olmayan arkadaşlarımız ve hocalarımız olduğundan, örnek bir çözümü açıklamalarıyla yazıyorum.

$V_1$ üretecinin pozitif kutbunun potansiyeline $V_1$, negatif kutbunun potansiyeline $0 V$ (Şu durumda $V$ yazmaya gerek var mıydı emin değilim, 0 her çarpanı yutar sonuçta.) diyelim. Bu durumda $A$ ve $B$ uçları üretece direkt bağlantılı olduklarından potansiyelleri $V_1$ olacaktır. Aynı şekilde $E$ ve $F$ uçları da üretecin negatif kutbuna direkt bağlantılı olduğundan potansiyelleri $0 V$ olur. 

Burada önemli olan $D$ ve $C$ noktaları. Onlara da sırasıyla $V_D$ ve $V_C$ diyelim. İki nokta arasındaki gerilime, yine $C$ ve $D$ noktalarını misal olarak alalım, $V_{DC}$ diyelim. Bu durumda $V_{CD}=V_C-V_D$ olmalıdır. 

İdeal sistemlerde direncin iki ucundaki gerilim, direncin değeri ile üzerinden geçen akımın çarpımına eşittir. O halde $V_{CD}=V_C-V_D=R_3.i_3$ olmalıdır.

 

Not1: Bir noktanın tek başına potansiyeli olduğundan emin değilim. Yanlış olma ihtimali yok sayılmayacak kadar fazla. Yine de burada elektrikten ziyade matematik tartışılacağından gelin bu yazıda doğru sayalım.

Not2: $i_3$ akımının yönü temsilidir, tersine bir akım da oluşabilir. Yani $i_3$ akımının değeri negatif çıkabilir, mahsuru yoktur :) Fakat $i_1$ ve $i_2$ akımlarının yönü temsili değil, gerçeğe uygundur.

Gelelim örnek sorumuza; $R_1=5 \Omega$,  $R_2=2 \Omega$, $R_3=1 \Omega$, $R_4=3 \Omega$, $R_5=7 \Omega$,  $V_1=22 V$ olsun. $i_1$, $i_2$, ve $i_3$ akımlarını ayrı ayrı bulalım. Ardından da eşdeğer direnç olan $R_{es}$'i bulalım.

Bu soruyu çözmenin (en azından benim aklıma gelen)  en kolay yolu noktalar arasındaki potansiyel farklardan yola çıkmak. 

$V_{AD}=22V-V_D=R_1.i_1=5 \Omega. i_1$

$V_{BC}=22V-V_C=R_2.i_2=2 \Omega. i_2$

$V_{CD}=V_C-V_D=R_3.i_3=3 \Omega. i_3$

$V_{DE}=V_D-0 V=V_D=R_1.i_1=5 \Omega. (i_1+i_3)$

$V_{CF}=V_C-0 V=V_C=R_1.i_1=5 \Omega. (i_2-i_3)$

Not3: Burada $D$ ve $E$ noktaları arasındaki akıma $i_1$ ve $i_3$ yazmamızın sebebi akımların birleşip bileşke bir akım oluşturmaları. $C$ ve $F$ arasında da tersine $i_2$ akımının ayrılıp $i_3$ ve $i_2-i_3$ akımını oluşturması. 

$i_1, i_2, i_3$ akımlarını bulabilmek için $3$ denklem kullanmamız gerektiği aşikar. Onları elimizdeki $5$ eşitlikten elde edelim.

$V_A=V_B$ ve $V_{BD}=22V-V_D=22V-V_C+V_C-V_D=V{BC}+V{CD}$ olduğundan $V_{AD}=V_{BC}+V_{CD}$ olmalıdır. 

Benzer şekilde $V_E=V_F$ ve $V_{CE}=V_C-0 V=V_C-V_D+V_D-0V=V{CD}+V{DE}$ olduğundan $V_{CF}=V_{CD}+V_{DE}$ olmalıdır. 

Son olarak da $V_{AE}=V_{AD}+V_{DE}=22V$ ve $V_{BF}=V_{BC}+V_{CF}=22V$ olmalıdır.

Denklemlerde düzenleme yapalım;

$V_{AD}=V_{BC}+V_{CD} \Rightarrow i_1.5 \Omega=i_2. 2 \Omega+ i_3.1 \Omega$

$V_{CF}=V_{CD}+V_{DE} \Rightarrow (i_2-i_3).7 \Omega=i_3.1 \Omega+ (i_1+i_3).3 \Omega$

$V_{BF}=V_{AE}=V_{AD}+V_{DE}=V_{BC}+V_{CF}=22V \\ \Rightarrow i_2. 2 \Omega+ (i_2-i_3). 7 \Omega=i_1. 5 \Omega+ (i_2+i_3). 3 \Omega=22 V$

İlk iki denklemden $\frac{i_1}{i_2}$ oranını bulmaya çalışalım.

$\displaystyle \frac{ i_1.5 \Omega-i_2. 2 \Omega}{i_2. 7 \Omega-i_1. 3 \Omega}=\frac{i_3}{i_3. 11 \Omega} \Rightarrow \frac{i_1}{i_2}=\frac{1}{2}$

Elimizdeki bu bilgilerle $i_3$'ün $i_1$ ve $i_2$ ye oranını bulalım. 

$i_2. 2 \Omega+ (i_2-i_3). 7 \Omega=i_1. 5 \Omega+ (i_2+i_3). 3 \Omega \Rightarrow i_1=\frac{i_2}{2}=i_3$

Bu oranları denklemlerden herhangi birine yazarsak $2.i_1=i_2=2.i_3=4 A$ bulunur. 

Ana kol akımı, yani üreteçten çıkan akım $i_{ana}=i_1+i_2=6 A$ ve $V1=i_{ana}.R_{es}$ olduğuna göre $R_{es}=\frac{22}{6} \Omega$ bulunur.

Verilen bilgiler, elektrik bilgisi hemen hemen hiç olmayan biri için bile yeterli. Bu bilgiler ışığında 

a) $i_1, i_2, i_3$ akımlarını veren genel geçer formülü bulunuz.

b) $R_{es}$ eşdeğer direncinin değerini veren genel geçer formülü bulunuz.

Dipnot: Biraz uzun bir soru, ben yazarken eğlendim, umarım siz de okurken ve çözerken eğlenirsiniz :)

Comments

Not: linkteki soru bu soru ile ilgilidir. Ben epey ilerledim ama bitirici vuruşu yapamadım :) Size danışmaya karar verdim :)

---

"siz"in içinde bende varmıyım .s

---

Tabi ki evet, kontrol kalemini kap gel mevzu var :D

---

bununla gelecektimde,neyse dediğin gibi olsun :D

---

Kontrol kalemi önemli, ben bilmiyor kurbağacık :)

---

oda var şişlemek için kullanırız.ben yanlış geldim sanırım.

---

Sorunun içinde çözdüğünüz sayısal örnek sorunuzu gereksiz yere şişirmiş. Dikkati tamamen dağıtıyor. Onun yerine temel tanımları verseydiniz daha faydalı olurdu. 

Diğer taraftan; matematikçiler tanımlardan yola çıkmayı tercîh edeceklerinden (aslında Fizikçiler de öyledir), sizin verdiğiniz örnekli anlatım nedeniyle, muhtemelen, probleme dönüp bakmayacaklardır bile.

Fizik güzeldir, hem de çok güzeldir. Ben de haddinden fazla severim. Fakat, bana sorarsanız, soru sorma şekliniz takipçileri ne konulara, ne de sorulara çekecek şekilde.

Matematikçilerin sorularına dikkat ederseniz, kısa ve net olduklarını; aşırı tanım/bilgi içermediklerini/gerektirmediklerini göreceksiniz. Sizin sorularınızı gören matematikçiler, Fizik'in gerçekten böyle olduğunu, böyle yapıldığını düşünebilir. 

İyi akşamlar.