Sinx+cosx=-1/3 denklemini sağlayan [0,2pi] aralığındaki x lerin toplamı kaçtır

Question

Parantez kare alıp sin2x elde ettim ancak karşı taraf-8/9 geliyor. Özel açı değil. Başka da birşey düşünemedim.

Comments

$cosx=\sqrt{1-sin^2x}$ yazıp sinx e göre 2.derece denklem gibi çözmeyi deneyin bir de. 

---

Onu da denedim, deltadan sinx in değerini buluyorsunuz ancak özel açı değil. Kökler toplamını bulmak mümkün olmadı özel açı olmadığı için.

---

$\sin x=\cos(\frac\pi2-x)$ olduğunu kullanmayı denediniz mi?

---

Bir de şunu dene

Sin(2x)=-8/9 un 0 $2\pi$ arasında kaç çözümü var. Bunların hepsi senin denklemini çözümü mü?

---

Bu soruda x değerini bulmana gerek yok.

(Düzeltme: "bulmama" yı, "bulmana" olarak düzelttim)

---

Onu denedim zaten yukarıda yazmıştım, ancak sin2x=-8/9 dan sonra devam edemedim. Sonuç 5pi/2 başka bir yöntemle buldum. Yine de teşekkürler.

---

Çözümünüz yazarsanız, soru cevapsız kalmaz. belki başka çözümler de görürüz.

Answer 1

Geometrik Çözüm:

Önce denklemi $\sin\theta+\cos\theta=\frac{-1}3\quad 0\leq\theta\leq2\pi$ şeklinde yazalım.( $x$ yerine $\theta$)

O zaman $(\cos\theta,\sin\theta)$ birim çember üzerinde bir noktadır.

$x+y=\frac{-1}3$ (kalın çizilmiş) doğrusu ile birim çemberin kesişme noktalarını arıyoruz. 

(Kesikli doğru kalın doğruya dik,  eksenlerin açıortay doğrusu) (Şekilde bir hata vardı. Düzelttim)

 

Şekildeki $\theta=\alpha+\frac\pi4$ ve $\beta=2\pi-(\alpha-\frac\pi4)$, $[0,2\pi]$ aralığındaki iki çözümdür.

$\theta+\beta=(\alpha+\frac\pi4)+(2\pi-\alpha+\frac\pi4)=2\pi+\frac\pi2=\frac{5\pi}2$ olur.

Answer 2

Sinx+tan45.cosx=-1/3 ifadesinde Tan45=sin45/cos45 yazıp payda eşitledim. (Cos45.sinx+sin45.cosx)/cos45=-1/3 oldu Sin toplam-fark formulu buldum. Sin(x+45)=-kök2/6 x+45=180+a+2kpi ve x+45=-a+2kpi x=135+a+2kpi ve x=-45-a+2kpi k=0 x=135+a ve k=1 x=315-a Toplam 450 geldi (5pi/2)

Comments

Bu çözümün ilk kısmının biraz daha kısa şekli:

$\sin x+\cos x=-\frac13$

$\frac1{\sqrt2}\sin x+\frac1{\sqrt2}\cos x=\frac{-1}{3\sqrt2}$

$\sin(x+\frac{\pi}4)=\frac{-1}{3\sqrt2}$

(Bir de derece ile radyanı aynı anda ($x+45=-a+2k\pi$ gibi)  kullanmasan iyi olur)

---

Bu çözüme göre, denklemin sağ tarafına başka bir sayı mesela - 1/4 gelse kökler toplamı değişmeyecek mi? 

---

Sağ tarafta $(-\sqrt2,1)$ aralığında hangi sayı  olursa olsun, kökler toplamı $\frac{5\pi}2$ oluyor.

Answer 3

$\sin(\frac\pi2-x)=\cos x$ özdeşliğinden $x$ denklemin bir çözümü ise $\frac\pi2-x$ de denklemin bir çözümdür. ( ama istenen aralıkta olmayabilir) 

Bundan yararlanan bir çözüm:

İki çözüm olacağı ve bunların $(\frac\pi2,\pi)$ ve $(-\frac{3\pi}2,2\pi)$ aralıklarında olması gerektiği (tam ispatı uzun ama) "hissediliyor". Buna güvenerek:

$\frac\pi2<x<\pi$ bir çözüm  ise, $\frac\pi2-x$ de bir çözüm, ama $[0,2\pi]$ aralığında değil. 

$[0,2\pi]$ aralığına getirmek için $2\pi$ eklemek yeterli olacaktır.

Çözümler $x$ ve $2\pi+\frac\pi2-x$ olur. Toplamı $\frac{5\pi}2$ olur.

Comments

Teşekkürler.

---

Sorunun genel çözümü için tıklayınız.