$3\cot^2x+8\cot x+3=0$ denklemini sağlayan $[0,2\pi]$ aralığındaki $x$ değerlerinin toplamı nedir?

Question

$3\cot^2x+8\cot x+3=0$ denklemini sağlayan $[0,2\pi]$aralığındaki $x$ değerleri toplamı nedir?

Answer 1

$\cot x = t$ değişken değiştirmesi yapılırsa denklem $3t^2 + 8t +3=0$ biçimine dönüşür. $\Delta = 8^2 - 4\cdot 3 \cdot 3 = 28 >0$ olduğundan iki farklı gerçel $t$ çözümü vardır. Bunlara $t_1$, $t_2$ diyelim. Köklerin her ikisi de negatiftir. $t_{1,2} = \dfrac{-4\mp \sqrt{7}}{3}$ $t_1 + t_2 =\dfrac{8}{3}$ ve $t_1\cdot t_2 =1$ olduğunu da not edelim.

$\cot x = \dfrac{-4 + \sqrt{7}}{3}$ dersek $x$ değerleri $2.$ ve $4.$ bölgede olacaktır.  $x_1=\text{arccot}\dfrac{-4 + \sqrt{7}}{3}$ ve $x_2=\text{arccot}\dfrac{-4 + \sqrt{7}}{3} + \pi$ bulunur. 

Benzer biçimde $\cot x = \dfrac{-4 - \sqrt{7}}{3}$ dersek yine $x$ değerleri $2.$ ve $4.$ bölgede olacaktır. $x_3=\text{arccot}\dfrac{-4 - \sqrt{7}}{3}$ ve $x_4=\text{arccot}\dfrac{-4 - \sqrt{7}}{3} + \pi$ bulunur.

Sonuç olarak $x_1+x_2+x_3+x_4 = 2\text{arccot}\dfrac{-4 + \sqrt{7}}{3} + 2\text{arccot}\dfrac{-4 - \sqrt{7}}{3} +2\pi$ elde edilir. Fakat bu haliyle pek şık durmadı. $\cot(x_1 + x_3)$ için özdeşliği kullanacağız ancak hatırlayamadım. Hemen onu da ispat edelim:

$$\cot(x_1 + x_3) = \dfrac{1}{\tan(x_1 + x_3)}=\dfrac{1- \tan x_1 \cdot \tan x_3}{\tan x_1 + \tan x_3} = \dfrac{1-\dfrac{1}{\cot x_1 \cdot \cot x_3}}{\dfrac{1}{\cot x_1}+\dfrac{1}{\cot x_3}} \\ = \dfrac{\cot x_1 \cdot \cot x_3 - 1}{\cot x_1 + \cot x_3} \tag{1}$$

oluyormuş. $\cot x_1 \cdot \cot x_3 = t_1\cdot t_2 = 1$ ve $\cot x_1 + \cot x_3 = t_1 + t_2 = \dfrac{8}{3}$. O halde $(1)$ den dolayı $\cot (x_1+x_3) = 0$ bulunur. Buna göre $x_1+x_3 = \dfrac{\pi}{2}+k\pi$ dir. Ancak $x_1$, $x_3$ değerleri geniş açı olduğundan $k=1$ alınmalıdır. $x_1+x_3 = \dfrac{3\pi}{2}$ olur. $x_2 +x_4 = \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{2}$ dir. Toplamda

$$x_1+x_2+x_3+x_4 = 5\pi$$

elde edilir.