Question

$\int_{3}^5 \left( \sqrt{-x^2+6x-5}+x-5 \right) dx$ integralinin sonucunu bulunuz?

Comments

Bu tip sorular standart sorulardır. Her Analiz kitabında bulunabilir.

Answer 1

$y=\sqrt{-x^2+6x-5}\Rightarrow y^2=-x^2+6x-5=4-(x-3)^2\Rightarrow (x-3)^2+y^2=4$ ifadesi $(3,0)$ merkezli ve $r=2$ çemberini ifade eder. Dolayısıyla  $\int_3^5\sqrt{-x^2+6x-5} dx$ integrali, bu çemberin $x-ekseni$ üstünde kalan yayı ile $x=3$ ile $x=5$ doğruları arasında kalan alanı ifade etmektedir. Bu alan çeyrek daire alanı olup $\pi$ birim karedir.

$\int_3^5(x-5)dx=\frac {x^2}{2}-5x|_3^5=-2$ dir.  O halde $\int_3^5(\sqrt{-x^2+6x-5} +x-5) dx=\pi-2$dir.

İntegralin ilk kısmı değişken değiştirilerek te yapılabilir.

$\sqrt{-x^2+6x-5}=\sqrt{4-(x-3)^2}$  olduğu için $x-3=2sin\theta$ dönüşümü yapılırsa integral; $\int_0^{\pi/2}\sqrt{4-4sin^2}\theta.2.cos\theta d\theta=4\int_0^{\pi/2} cos^2\theta d\theta=2\int_0^{\pi/2} (1+cos2\theta) d\theta$

$=2(\theta/2+sin2\theta /2|_0^{\pi/2}=\pi$  bulunur.