Question

$A\cup B=X$ ve $A\cap B=\emptyset \Leftrightarrow A=B^{c}$ olduğunu gösterin.

$i)$ $\Rightarrow$$A\cap B=\emptyset$, $x\in A$ ve $x\notin B\rightarrow x\in B^{c}$ o halde $A\subseteq B^{c}$  

$x\in B^{c}\rightarrow x\notin B$,$A\cap B=\emptyset$ o halde $x\in A$ , $B^{c}\subseteq A$

$A=B^{c}$

$ii)$ $\Leftarrow$ $A=B^{c}$,$x\in A$ ve $x\in B^{c}\rightarrow x\notin B$ o halde $x\in A,x\notin B\Rightarrow A\cap B=\emptyset$

Ben $A\cup B=X$ bilgisini kullanmadım,o bilgi ne demek istiyor ?, İspatta eksiklik yanlışlık var mı ?

Comments

İspata başlarken yanlış başlamışsın gerek kısmında 

$$A\cap B = \emptyset \Rightarrow A\subseteq B^{c}$$

olduğunu kullanarak ilerlemeye başla çünkü $x\notin B$ diyerek başlamak doğru bir yaklaşım değil. 

---

Ben iki şıkkada dediğiniz şekilde başlamadım.

Answer 1

$$A=B^c$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(A\subseteq B^c)(B^c\subseteq A)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(A\cap B=\emptyset)(A^c\cap B^c=\emptyset)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(A\cap B=\emptyset)((A\cup B)^c=\emptyset)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(A\cap B=\emptyset)(A\cup B=X).$$