Question

Karesi iki olan negatif bir gerçel sayının var olduğunu kanıtlayınız

Answer 1

$B:=\{ x\in\mathbb{R} : x\leq 0 , x^2 < 2 \}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr}   0 < 1\Rightarrow 0\leq 1 \Rightarrow -1\leq 0 \\ \\ 1=-(-1)=(-1).(-1)=(-1)^2 < 2 \end{array}\right\} \Rightarrow -1\in B \Rightarrow B\neq\emptyset \ ...(1)$

$\forall x(x\in B \Rightarrow -2< x ) \overset{?} \equiv 1 ...(*)$

Her $x\in B$ için $x\leq -2$ olduğunu varsayalım.

$\left.\begin{array}{rr} x\leq -2 \Rightarrow 2x\leq -4 \Rightarrow 4\leq -2x \\ \\ x\leq -2 \Rightarrow -2x\leq x^2 \end{array}\right\} \Rightarrow \begin{array}{c} \\  \\ \left.\begin{array}{cc} 4\leq x^2  \\ \\ x\in B \Rightarrow x^2 < 2 \end{array}\right\} \Rightarrow 4 < 2 \end{array}$

çelişkisini elde ederiz.

O halde $(*)$ önermesi doğru yani $-2\in B^a$ , yani $B^a \neq\emptyset$ , yani B kümesi alttan sınırlı $... (2)$ 

$\left.\begin{array}{rr} (1),(2) \overset{ ??} \Rightarrow (\exists b\in\mathbb{R})(\inf B=b) \\ \\  -1\in B \end{array}\right\}\Rightarrow  b\leq -1 < 0 \Rightarrow b\in\mathbb{R}^{< 0}$

olur. Yani $(\exists b\in\mathbb{R})(\inf B = b < 0 ).$

$b^2=2$ olduğunu gösterirsek kanıt biter. Bunun için de $b^2\leq 2$ ve $2\leq b^2$ olduğunu göstermeliyiz.

$\textbf{I. Durum}: b^2\leq 2$ olduğunu gösterelim.

$2 < b^2$ olduğunu varsayalım.

$\left.\begin{array}{rr}  2 < b^2 \Rightarrow 0 < b^2-2 \\ \\ b < 0 \Rightarrow 0 < - b \Rightarrow 0< -2b+1 \end{array}\right\} \Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\  \left.\begin{array}{cc} 0 < \frac { b^2-2} { -2b+1} \\ \\ \text{ Archimedes Özelliği} \end{array}\right\} \Rightarrow \end{array}$

$\Rightarrow (\exists n\in\mathbb{N})\left(\frac {1} {n} < \frac{ b^2-2}{-2b+1}\right) \Rightarrow \frac{ -2b+1}{n} < b^2-2  \Rightarrow 2 < b^2 + \frac{ 2b}{n} - \frac{1} {n}$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow 2 <  b^2 + \frac{ 2b} { n} + \frac{ 1}{n^2}=\left(b+ \frac{1}{n}\right)^2 \\ \\ c\in B \Rightarrow c^2 < 2 \end{array}\right\} \Rightarrow c^2 < 2 < (b+ \frac{1} {n} )^2$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow  b+ \frac{1}{n} < c  \Rightarrow b+ \frac{1}{n} \in B^a  \\ \\ b < b+ \frac{1}{n} \end{array}\right\} \Rightarrow \text{Çelişki.}$

O halde, $b^2 \leq 2 \ ...(3)$

$\textbf{II. Durum}: 2\leq b^2$ olduğunu gösterelim.

$b^2 < 2$ olduğunu varsayalım.

$\left.\begin{array}{rr}   b^2 < 2 \Rightarrow 0 < 2- b^2 \\ \\ b < 0 \Rightarrow 0 < - b \Rightarrow 0< -2b+1 \end{array}\right\} \Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\  \left.\begin{array}{cc} 0 < \frac { 2-b^2} { -2b+1} \\ \\ \text{ Archimedes Özelliği} \end{array}\right\} \Rightarrow \end{array}$

$\Rightarrow (\exists m\in\mathbb{N})\left(\frac {1} {m} < \frac{ 2-b^2}{-2b+1}\right) \Rightarrow \frac{ -2b+1}{m} < 2-b^2  \Rightarrow  b^2 - \frac{ 2b}{m} + \frac{1} {m} < 2$

$\left.\begin{array}{rr}  \Rightarrow \left(b - \frac{1}{m}\right)^ 2 = b^2 - \frac{2b}{m} + \frac{1}{m^2} \leq b^2 - \frac{2b}{m} + \frac{1}{m} < 2 \Rightarrow b- \frac{1}{m} \in B \\ \\ b- \frac{1}{m} < b    \end{array}\right\} \Rightarrow \text {Çelişki.}$

O halde, $2\leq b^2 \ ...(4)$ 

$(3),(4)\Rightarrow b^2=2$ olur.

Comments

$??$ geçişinin gerekçesi aşağıdaki linkte mevcuttur.

http://matkafasi.com/119401/kumesinin-altkumesinin-sinirinin-oldugunu-kanitlayiniz