Question

$x\in\mathbb{N}\setminus \{0\}$ olmak üzere

$$x-1\notin\mathbb{N} \Leftrightarrow x-1 < 0$$  

olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(\Rightarrow ):  \ x-1 < 0 \Rightarrow [ x-1 \neq 0 \ \wedge \ x-1 \leq 0 ]$

olduğundan      

$$[ x-1 \neq 0 \ \wedge \ x-1 \leq 0 ]$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$0 < x-1$ olduğunu varsayalım ve  $x-1 \notin\mathbb{N}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x-1\notin\mathbb{N} \\ \\ 0\in\mathbb{N} \end{array}\right\} \Rightarrow x-1\neq 0 \ ...(1)$ 

Diğer taraftan 

$0< x-1 \Rightarrow( 0\leq x-1 \ \wedge \ 0\neq x-1 )\Rightarrow 0\leq x-1$

$\left.\begin{array}{rr}  \Rightarrow 1\leq x \overset{?} \Rightarrow x-1\in\mathbb{N} \\ \\ x-1\notin\mathbb{N} \end{array}\right\} \Rightarrow \text{ Çelişki.}$

O halde varsayımımız yanlıştır. Yani $x-1 \leq 0 \ ...(2)$

$$(1),(2) \Rightarrow x-1 < 0$$

olur.

$(\Leftarrow ):$

$$[x\in\mathbb{N} \Rightarrow 0\leq x ] \equiv \ [ x<0 \Rightarrow x\notin\mathbb{N} ]$$

olduğundan

$$x-1 < 0 \Rightarrow x-1\notin\mathbb{N}$$

olur.

Comments

$?$ işaretinin gerekçesi http://matkafasi.com/125108/mathbb-olmak-uzere-leftrightarrow-mathbb-oldugunu-gosteriniz

bu linktedir.