Question

İki doğal sayının toplamının her zaman bir doğal sayıya eşit olduğunu gösteriniz.

Comments

Siz bu soruda ne düşündünüz / denediniz?

---

Doğal sayılarda toplama nasıl tanımlanıyor?

---

hocam induction ile gösterebilir miyiz ?

Answer 1

Sorunuzu şöyle ifade edelim:

$$x,y\in\mathbb{N} \Rightarrow x+y\in\mathbb{N}$$  

$x+y\notin\mathbb{N}$ olduğunu varsayalım ve $x,y\in\mathbb{N}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\in\mathbb{N} \Rightarrow 0\leq x \Rightarrow y \leq x+y \\ \\ y\in\mathbb{N} \Rightarrow 0 \leq y \end{array}\right\} \overset{Neden?} \Rightarrow \begin{array}{cc}  \\ \\  \left.\begin{array}{cc} 0\leq x+y \\ \\ x+y\notin\mathbb{N} \overset{ Neden?} \Rightarrow x+y < 0 \end{array}\right\} \Rightarrow \text{Çelişki.} \end{array}$

O halde , $x+y\in\mathbb{N}$ olur. 

Comments

Makul bir inşada eşitsizlik toplama tanınlanıp olayların güzel olduğunu gösterdikten sonra tanımlanır. Bu da toplamanın makul bir işlem olduğunu göstermek için bir sav niteliğinde. 

Toplamanın tanımı ve doğal sayıların tümevarım özelliği ile bir ispat vermek daha yerinde gibi. 

Sizin alanınıza daha yakın bir soru tabii, siz ne düşünüyorsunuz bu yorumlarım hakkında. 

---

Evet Sercan hocam yorumlarınız doğrudur. Bunu soran kişinin doğal sayıları nasıl inşa ettiğini ve toplamayı doğal sayılar üzerinde nasıl tanımladığını soru içerisinde belirtmediği sürece soru çok açık bir hale gelmektedir. Benim gibi birisi bu şekilde ispatlar nasıl yaptınız bunu derseniz öncelikle gerçel sayı sistemini tanımladım sonra $\mathbb{ R}$ nin içindeki $\mathbb{N}$ yi der. Başka birisi tümevarımla kanıtlar ve gerekçesini açıklar. Bu yönüyle soru çok açık bir haldedir.