$\displaystyle\int_{-2}^2\frac{1+x^2}{1+2^x}\,dx$ integralini hesaplayınız.

Question

Stanford Üniversitesinde yapılan  bir Matematik yarışmasında sorulmuş.

Comments

Hocam buna benzer sorduğunuz 2 3 soru dahil ve buna ben kalem oynatamadım. Değişken değiştirme düşünüyorum sürekli oradan da çıkmıyor. Yapamamam normal mi ?

---

Bence normaldir.

Answer 1

$$I=\int_{-2}^{2}\frac{1+x^2}{1+2^x}dx$$ diyelim.

$$x=-y$$ dönüşümü yaparsak $$I=\int_{-2}^{2}\frac{1+y^2}{1+2^{-y}}dy$$ olur. $$I+I=\int_{-2}^{2}\frac{1+x^2}{1+2^x}dx+\int_{-2}^{2}\frac{1+x^2}{1+2^{-x}}dx$$

$$\Rightarrow$$

$$2I=\int_{-2}^{2}\left(\frac{1+x^2}{1+2^x}+\frac{1+x^2}{1+2^{-x}}\right)dx$$

$$\Rightarrow$$

$$2I=\int_{-2}^{2}(1+x^2)dx$$

$$\Rightarrow$$

$$2I=2\int_{0}^{2}(1+x^2)dx$$

$$\Rightarrow$$

$$I=\frac{14}{3}$$ elde edilir.

Comments

Dönüşüm sonrası  bulunan integral neden  I 'ya eşit? Bulunan I ile aynı degil. Ben mi yanılıyorum yoksa

---

$$x=-y\Rightarrow dx=-dy$$ $x=-2$ için $y=2$ ve $x=2$ için $y=-2$ olur. $x$ yerine $-y$ yazıp gerekli düzenlemeler yapıldığında istenen sonucu buluruz.

---

$I=\int_{-2}^{2}\frac{1+y^2}{1+2^{-y}}dy=\int_{-2}^{2}\frac{(1+y^2)2^y}{1+2^{y}}dy=\int_{-2}^{2}\frac{(1+x^2)2^x}{1+2^{x}}dx$

Düzeltme: En sonda, değiştirmeyi unuttuğum $dy$ sembolünü $dx$ olarak düzelttim)

---

Murad hocam,Dogan hocanın son yorumunda bulduğu I ile sizin  çözümde kabul ettiginiz I aynı degil. Dolayısıyla integralin  sonu degişecektir.

---

$$x=-y\Rightarrow dx=-dy$$ $x=-2$ için $y=2$ ve $x=2$ için $y=-2$ olur. Buradan da gerekli düzenlemeleri yaptığımızda $$I=\int_{2}^{-2}\frac{1+(-y)^2}{1+2^{-y}}(-dy)=\int_{-2}^{2}\frac{1+y^2}{1+2^{-y}}dy$$ elde edilir ve bu son bulduğumuz integral de $I$’ya eşit. Dönüşüm yaparak şunu görmüş oluyoruz. $$I=\int_{-2}^{2}\frac{1+x^2}{1+2^x}dx=\int_{-2}^{2}\frac{1+y^2}{1+2^{-y}}dy=\int_{-2}^{2}\frac{1+x^2}{1+2^{-x}}dx$$