Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
172 kez görüntülendi

Belirsiz integral elementer değil ama belirli integrali bulabiliyoruz.

(Bir kaç önemli teorem kullanmak gerekiyor)

(Stanford Üniversitesinde, bir Matematik yarışmasında sorulan bir sorunun, biraz değiştirilmiş ve kolaylaştırılmış şeklidir)

Lisans Matematik kategorisinde (4.8k puan) tarafından  | 172 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Cok guzel bir soru.. Gerekli yerlerde Fubini Teoremini kullanmisimdir..

$$\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty}x^k,\qquad|x|<1\implies\frac{-1}{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty}-x^k$$

$\frac{d}{dx}\ln(1-x)=\frac{-1}{1-x}\implies$

$\boxed{\begin{aligned}\ln(1-x)&=\int\frac{-1}{1-x}dx=\int\sum_{k=0}^{\infty}-x^k dx\\&=\sum_{k=0}^{\infty}\int -x^k dx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{-x^{k+1}}{k+1}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{-x^{k}}{k}\end{aligned}}$

$\begin{aligned}\int_0^1\frac{\ln(1-x)}{x}dx&=\int_0^1\frac{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{-x^{k}}{k}}{x}dx=\sum_{k=1}^{\infty}\int_0^1\frac{-x^{k-1}}{k}dx\\&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{-x^{k}}{k^2}\Big|_0^1=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{-1}{k^2}=-\zeta(2)=-\frac{\pi^2}{6}\end{aligned}$
(2.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Dikkat edilirse, bu soruda, Analizin 4 önemli teoremi kullanılıyor:

1. Kuvvet Serilerinin Terim-Terime Türevlenebilmesi Teoremi.

2. (Kuvvet Serilerinin (yakınsaklık aralığı içinde) düzgün yakınsıyor olması

3. (Bir kapalı sınırlı aralıkta) Düzgün yakınsayan fonksiyon serilerinin terim-terime integrallenebilmesi

4. Abel in, uç noktalarda yakınsayan kuvvet serilerinin, uçlardaki (tek taraflı) limiti ile ilgili teoremi.

(1. ve 3. teoremler bağımsız değil)

$\int_0^{\frac12}\frac{\ln(1-x)}x\,dx$ integralini hesaplayınız

Cozerken o kadar cok teorem kullandigimi bilmiyordum hocam :)

$x=-u$  dönüşümü ile   $ln(1-x)=ln(1+u)$ ifadesinin seriye açılımını integrantta yerine yazarak çözmek de mümkün.

Soruyu pek değiştirmiyor bu, sanki? 

Evet. Sanırım aynı şeyi söylemişim. 

18,567 soru
20,850 cevap
67,956 yorum
19,307 kullanıcı