Analiz

Question

$\int _{0}^{2}\left( 2x+6x^{2}\right) \sqrt {1+16x^{2}}dx$

integralini hesaplayınız.

Comments

$$4x=tant$$ dönüşümü yaparsanız sonucu birkaç işlemden sonra bulabilirsiniz.

Answer 1

$$I=\int (2x+6x^2)\sqrt{1+16x^2}dx$$ olsun.

$4x=\tan t$ dönüşümü yaparsak $4dx=\sec^2tdt$ olacaktır. Bunları yerine yazarsak

$$I=\int (2\tan t+6\tan^2t)\sqrt{1+tan^2t}\sec^2tdt$$

elde edilir. Biraz düzenlersek 

$$I=\int \left(2\frac{\sin t}{\cos t}+6\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}\right)\sec^3tdt$$

$$\Rightarrow$$

$$I=\int \left(2\frac{\sin t}{\cos t}+6\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}\right)\frac{1}{\cos^3t}dt$$

$$\Rightarrow$$

$$I=\int \left(2\frac{\sin t}{\cos^4 t}+6\frac{\sin^2 t}{\cos^5 t}\right)dt$$

$$\Rightarrow$$

$$I=2\int \frac{\sin t}{\cos^4 t}dt+6\int \frac{\sin^2 t}{\cos^5 t}dt$$

$$\Rightarrow$$

$$I=2\int \frac{\sin t}{\cos^4 t}dt+6\int \frac{1-\cos^2 t}{\cos^5 t}dt$$

$$\Rightarrow$$

$$I=2\int \frac{\sin t}{\cos^4 t}dt+6\int \frac{1}{\cos^5 t}dt-6\int \frac{1}{\cos^3 t}dt$$

$$\Rightarrow$$

$$I=2\int \frac{\sin t}{\cos^4 t}dt+6\int \frac{\cos t}{\cos^6 t}dt-6\int \frac{\cos t}{\cos^4 t}dt$$

$$\Rightarrow$$

$$I=2\int \frac{\sin t}{\cos^4 t}dt+6\int \frac{\cos t}{(1-\sin^2 t)^3}dt-6\int \frac{\cos t}{(1-\sin^2 t)^2}dt$$

İlk integralde $$\cos t=y$$ dönüşümü; ikinci ve üçüncü integralde $$\sin t=z$$ dönüşümü yaparsan sonuca ulaşırsın.