Bir $f$ fonksiyonu $x_0$ noktasında diferansiyellenebilir ise $x_0$ noktasında süreklidir gösteriniz?

Question

Bir f fonksiyonu ${x_o}$ noktasında diferansiyellenebilir ise ${x_o}$ da süreklidir gösteriniz?

Comments

Siz neler denediniz ? 

---

Ben soruyu bir çözümden yaptim farklı çözümler bekliyorum 

---

Ben bulamadım ama sorunun yanıtı sitede vardı diye hatırlıyorum.

---

Türevin limit tanımından giderek bunu göstermek mümkün. Siz isterseniz kanıtınızı paylaşın; farklı kanıtlar gelebilir. 

---

Hocam şöyle düşündüğünüz zaman                $$f(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-{x_0}}(x-{x_0}) +f(x_0)$$   sonra da her  iki tarafın limitini aldığınız da görmeniz olayı kolaylaşacaktır.

Answer 1

Sonuç: Bir KOŞULLU önerme karşıt tersine denk olduğundan $f$  fonksiyonu bir $x_0$ noktasında sürekli değilse o noktada türevli de değildir. Her yerde sürekli olup türevleri bulunmayan fonksiyon örnekleri de mevcuttur. 

Answer 2

Önsav. Eğer $f:X \to R$  fonksiyonu bir $c\in X^{\circ}$  noktasında türevlenebilirse , o zaman öyle bir $\delta\gt 0$ ve $M$  sayıları vardır ki, her $x\in (c-\delta,c+\delta)$   için $$|f(x)-f(c)|\lt M|x-c|$$   olur.

Yukardaki koşul doğru olduğunda, "f fonksiyonu $c$ civarında Lipschitz koşulunu sağlar" denir.

Teorem. Bir fonksiyon, türevli olduğu noktalarda süreklidir.

Kanıt. Aslında (Önsav ışığında) bu teoremden daha kuvvetli bir sonuç doğrudur:

Önsav. $f:(a,b)\to R$ fonksiyonu $c\in (a,b)$ noktası civarında Lipschitz koşulunu sağlasın. O zaman $f$  fonksiyonu  $c$ noktasında süreklidir.

Kanıt.  $M$   ve  $\delta_0$   sayıları Lipschitz koşulunu sağlasınlar.$\epsilon \gt 0$ olsun. $\delta=$min$[ \delta_0,\epsilon/M]$ olsun. Eğer, $x\in (c-\delta,c+\delta)$  ise , $|x-c|\lt \delta\le\delta_0$  ve dolayısıyla $$|f(x)-f(c)|\lt M|x-c|\lt M\delta\le \epsilon$$   olur. Demek ki $f$,  $c$ de süreklidir.

Matematik Dünyasi dergisi 2010/II 

Comments

Teşekkür ederim alpercay

---

Rica ederim, sadece aktarımda bulundum.

Answer 3

$f(x)$=$\frac{f(x)-f(x_0)} {x-{x_0}}$ $(x-{x_0})$ $+$ $f(x_0)$, $x\neq{x_0}$ $\lim\limits_{x\to {x_0}} f(x)$=$\lim\limits_{x\to {x_0}}$ $\frac{f(x)-f(x_0)} {x-{x_0}}$ $(x-{x_0})$$+$$f(x_0)$ =$f `(x_0)$.0 $+$ $f(x_0)$=$f(x_0)$ olur. $\lim\limits_{x\to {x_0}} f(x)$=$f(x_0)$ olduğundan dolayısıyla f fonksiyonu ${x_0}$ noktasında süreklidir.

Comments

Sorunun genellemesi.

---

Sorunuzun Matematik Dünyasi dergisi 2010/II sayisinda farkli bir kaniti var, onu da aktarabiliriz vakit bulunca.