Çarpımsal tersin biricikliği

Question

Her  $0\ne x\in\mathbb{R}$    için  $xy=yx=1$ eşitliğini sağlayan biricik $y\in\mathbb{R}$  nin mevcut olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$xy=yx=1$ ve $xy'=y'x=1$ olacak şekilde birbirinden farklı $y$ ve $y'$ gibi iki gerçel sayının olduğunu varsayarsak

$$y\overset{\text{Ç}_2}=y\cdot 1\overset{\text{V}}=y\cdot (x\cdot y’)\overset{\text{Ç}_1}=(y\cdot x)\cdot y’\overset{\text{V}}=1\cdot y'\overset{\text{Ç}_2}=y'$$ çelişkisini elde ederiz. O halde verilmiş bir $x\neq 0$ için $$x\cdot y=y\cdot x=1$$ koşulunu sağlayan $y$ biriciktir.

Not:

$Ç_1:$ Bu linkteki $Ç_1$ aksiyomu.

$Ç_2:$ Bu linkteki $Ç_2$ aksiyomu.

$\text{V: Varsayım}$