Üç Kare Toplamı olarak yazılabilen sayılar

Question

Aklıma gelen bir soruyu paylaşmak istiyorum:

$S=\{ n\in \mathbb N: n\not \equiv 7 \pmod 8 \}$ kümesini göz önüne alalım.

• $x,y,z \in \mathbb Z$ olmak üzere $S$ kümensiin tüm elemanları $x^2 + y^2 + z^2$ formunda yazılabilir mi yoksa  $x^2 + y^2 + z^2$ formunda olmayan bir elemanı var mıdır?
  

• Bu formda olmayan $n$ elemanları varsa, bunların en büyüğü (varsa) kaçtır?
  

Örneğin

$1=1^2 + 0^2 + 0^2$

$2=1^2 + 1^2 + 0^2$

$3=1^2 + 1^2 + 1^2$

$4=2^2 + 0^2 + 0^2$

$5=2^2 + 1^2 + 0^2$

$6=2^2 + 1^2 + 1^2$

$8=2^2 + 2^2 + 0^2$

$9=2^2 + 2^2 + 1^2= 3^2 + 0^2 + 0^2$

$10=3^2 + 1^2 + 0^2$

Notlar:

1. İlk bir kaç deneme ile $S$ nin her elemanı bu şekilde yazılabilir gibi görünüyor. Cevabı şu anda ben de bilmiyorum.

2. $n \not \equiv 7 \pmod 8$ almamınız sebebi burada açıklanmıştır. Detayları için bağlantıya bakabilirsiniz.

Answer 1

Galiba en kucuk karsit ornek $28$.  

$28 \equiv 4 \pmod 8$  oldugundan

$28 \in S=\{ n\in \mathbb N: n\not \equiv 7 \pmod 8 \}$

Ama $x, y, z \in \mathbb Z$ olmak uzere $28=x^2 + y^2 + z^2$ yazilamaz.

Bunun icin $[0,5]\times[0,5]\times[0,5]$ uclulerine bakmak yeterli..

Diger adaylar $\{28, 60, 92, 112, 124, 156, 188, 220, 240, 252, 284\}$

Comments

Ökkeş Bey'in listesindeki sayıların (sanırım bunları programla elde etti) hepsinin $4$'e bölündüğünü gözlemleyebiliriz. İlginç olan bu sayıların bir çarpanı $4$ iken diğer çarpan $8k+7$ şeklinde yazılabiliyor. Tabii benimki varsayım; bunun doğru olup olmadığını kanıtla anlayabiliriz elbette. O zaman üç karenin toplamı olmayan sayıların $4(8k+7)$ şeklinde olup olmadığını inceleyerek işe başlayabiliriz diye düşünüyorum.

---

Problemin ilk kısmı çözülmüş oldu Ökkeş bey'e teşekkürler. İkinci kısmı henüz çözülemedi. Alper bey'in işaret ettiği noktalara yoğunlaşılabilir.

---

@alpercay Evet program kullandim. @lokman neden ust limit oldugunu dusunuyorsunuz?

---

@alpercay $112$ ve $240$ dediginiz kurala uymuyor. Belki ben bir hata yaptim programda. Bir bakip donecegim..

---

Ökkeş bey $S$ kümesinin sonlu olup olmadığını bilmiyordum, o sebeple varsa en büyük $n$ değeri kaçtır diye sordum. Vardır diye iddia etmedim, var mıdır yok mudur, eğer varsa bu halde değer kaçtır anlamında bir soru sordum. Neden bu soru bende oluştu? Sayılar büyüdükçe tam kare sayıları seçmek için alternatiflerimiz artıyordu. Bu sebeple belli bir $n$ değerinden sonra $S$ deki her eleman, üç tam kare toplamı olarak yazılabiliyor mudur sorusu zihnimde canlandı. Problemin gelişim süreci bu şekilde işledi. Daha sonra Doğan Dönmez hocamızın bununla ilgili $32n+28$ formundaki sayılar üzerine olan problemini görünce en büyük eleman bulunmadığını beraberce anlamış olduk.

---

Haklısınız bu sayılar $4(8k+7)$ formatında yazılmıyor fakat $112=4^2(8k+7), 240=4^2(8k+7)$ formatında yazılabiliyor. O zaman $4^n(8k+7)$ şeklindeki sayıları araştırmalıyız. 

---

Ökkeş bey, en küçük karşıt örnek $28$ değil de $15$ oluyor. $x^2 + y^2 + z^2=15$ için $x,y,z \in \{ 0,1,2,3 \}$ denenmelidir. Simetriden dolayı $x\leq y \leq z$ kabul etmek çözümün genelliğini bozmaz.

$z=3$ için $x^2 + y^2= 6$ denkleminin çözümü yoktur.

$z \leq 2$ için $x^2 + y^2 + z^2 \leq 8$ olabilir ve $15$'i veren çözüm yoktur.

Üç tam sayının karelerinin toplamı biçiminde ifade edilemeyen en küçük pozitif tam sayı $15$ olur.

---

Dogru ama $15\notin S$. Ayni sey $23$ icin de gecerli..

---

Haklısınız, $S$ de bulunan en küçük değer $28$ dir.

Answer 2

Problemin ikinci kısmına cevap verecek biçimde ilerleme kaydettik.

burada $32n+ 28$ ($n\in \mathbb N$) biçimindeki sayıların üç tamsayının karelerinin toplamı biçiminde yazılamayacağını gösterdik. Ayrıca $32n+ 28 \in S$ olduğundan $S$ de $x^2 + y^2 + z^2$ ($x,y,z \in \mathbb Z$) formunda olmayan sonsuz çoklukta sayı bulunduğunu göstermiş olduk.