Question

$$(\forall n\in\mathbb{N})\left(x>1-\frac{1}{n}\right)\Rightarrow x\geq 1$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Teorem (Arşimet özelliği): Her $x\in\mathbb{R}$ için $x\leq n$ olacak şekilde bir $n\in\mathbb{N}$ vardır.

$$\left[(\forall n\in\mathbb{N})\left(x>1-\frac{1}{n}\right)\Rightarrow x\geq 1\right]\equiv \left[x<1\Rightarrow (\exists n\in\mathbb{N})\left(x\leq 1-\frac{1}{n}\right)\right]$$

$x<1$ olsun.

$x<1\Rightarrow 1-x>0\Rightarrow \frac{1}{1-x}>0\overset{\text{Arşimet Özelliği}}{\Rightarrow} (\exists n\in\mathbb{N})\left(\frac{1}{1-x}\leq n\right)\Rightarrow (\exists n\in\mathbb{N})\left(\frac{1}{n}\leq 1-x\right)\Rightarrow (\exists n\in\mathbb{N})\left(x\leq 1-\frac{1}{n}\right).$

Answer 2

$\mathbb N$ ile pozitif tamsayılar kümesinin belirtildiği anlaşılıyor. Burada anlaştıktan sonra farklı bir yol deneyelim:

Eşitsizliğin her $n$ pozitif tam sayısı için doğru kalmasını sağlayan $x$ değerlerinin en küçüğünün $x=1$ olduğunu iddia ediyoruz. Verilen eşitsizlikte $x=1$ yazarsak $1 > 1-\dfrac{1}{n}$ olur ki bu eşitsizliğin her $n \geq 1$ tamsayısı için sağlandığı açıktır.

Şimdi $x$ yerine $1$ 'den daha küçük bir gerçel sayı gelemeyeceğini gösterelim. Aksini iddia edelim ve bir $\epsilon > 0$ sayısı için $x=1-\epsilon$ (elbette sabit bir değer) olsun ve $x > 1- \dfrac{1}{n}$ eşitsizliği her  $n$ pozitif tam sayısı için doğru olsun. (Bakalım gerçekten olabiliyor mu?)

Bunun için $1-\epsilon > 1- \dfrac{1}{n}$ olması gerekir. Bu ise her $n$ için $\dfrac{1}{n} > \epsilon$ olması demektir. Fakat $\epsilon >0$ sayısını $0$'a ne kadar yakın ve ne kadar küçük seçersek seçelim $\dfrac{1}{n} < \epsilon$ olmasını sağlayacak yeterince büyük bir $n$ doğal sayısı her zaman bulabiliriz. Yani daima $\dfrac{1}{n} > \epsilon$ olamıyor.

Böylece $x$'in $1$'den daha küçük seçilemediği de ispat edilmiş oluyor. O halde $x \geq 1$ dir.