Parametresinde n'inci dereceden bir fonksiyon barındıran bir periyodik fonksiyonun periyodu nasıl bulunur ?

Question

Merhabalar;

$y = A . sin(mx +n)$ fonksiyonunun periyodu $\frac{2\pi}{m}$'dir.

$f \text{ fonksiyonunun periyodu T'dir buna göre;}$

$f(nx) \text{'in periyodu } \frac{T}{|n|} \text{ olur.}$

Bunun neden olduğunu bilmiyorum. Bende fonksiyon grafiklerine ve periyotlarına bakarak şöyle bir çıkarım yaptım.

$\frac{\text{fonksiyonun periyodu}}{\text{fonksiyon parametresinin eğimi(türevi)}}$

Ne kadar doğru hiçbir fikrim yok.Şimdi ben böyle bir şey yaptım çünkü elimde olan kaynakta

sadece trigonametrik fonksiyonların parametresinde birinci dereceden denklemlerin periyodunu vermiş.Kısacası

$y = A.cos(ax^2+bx+c)$

$y = A.sin(ax^3+bx^2+cx+d)$

gibi ya da daha yüksek dereceli bir parametrelerin periyodunu vermemiş. Bende grafiği 

incelediğimde eğim değiştiğinde periyotta değişiyor .Bende bu tip daha yüksek parametrelerini bulmak için eğimini almayı düşündüm.Birinci derecede doğru.Fakat

örneğin fonksiyon

$y = A.cos(ax^2+bx+c)$

olsun.Tahminime göre periyot : $\frac{2\pi}{2ax+b}$

olması gerekir.Ama fonksiyonun grafiğine baktığımda pekte periyodik bir fonksiyon göremedim.

Bir de eğer fonksiyon üçüncü ya da daha yüksek seviyeli olsaydı periyodun paydası $n-1$ dereceden olacaktı .Bu bize tahminimce eğimi vermeyecekti.Eğrisel olacaktı.Burada yapmam gereken.

$y = A.sin(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2} \dots +a_0)$   fonksiyonumuz olsun

periyodunu bulmak için $\Large\frac{2\pi}{\frac{d^n}{dx}(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2} \dots +a_0)}$

yani eğimi bulmak için sadece bir türev mi almam gerekir yoksa derece miktarı kadar mı?

Sorum düşüncemin ne kadar doğru olduğu hakkında ve de

$\text{Bir periyodik fonksiyonu girilen parametre periyodik olmaktan çıkarabilir mi?}$

Şimdi bakınca biraz saçma gibi geldi.Neyse.Şimdiden teşekkürler.

Comments

Periyod sabit olmali degil mi? $x$ degiskeni iceren periyodlar buluyorsun.

---

O zaman $n$'inci dereceden türevini almam gerekir.Değil mi?

---

Belki de periyodik degillerdir? 

---

Yani periyodik bir fonksiyonun parametresi fonksiyonu periyodik olmaktan çıkarabilir mi?

Bundan nasıl emin olabiliriz ki grafiğe bakmadan?

---

Sunu bir incele istersen: $\sin(x^2)$  periodik mi, degil mi?

---

En başta yazdığın önermeyi ispatlamayı deneyebilirsin. $$f(x)=f(x+T)\Rightarrow f(nx+T/n)=f(nx)$$ .

Tabi Sercan'ın da belirttiği gibi hangi durumlarda $\sin -- \cos$ fonksiyonları periyodik oluyorlar, incelemek lazım. O da ayrı bir problem: $h(x)$ fonksiyonu hangi şartları sağlamalıdır ki $\sin h(x)$ fonksiyonu periyodik olsun?