$n$. dereceden her reel polinom, $n+1$ periyodik fonksiyonun toplami olarak yazilabilir

Question

Cok inanasi gelmiyor insanin ama dogru oldugu soyleniyor. Oyle mi acaba ?

Comments

Bana da pek inanılır gelmedi ama, şurada özdeşlik ($f(x)=x$) in iki periyodik fonksiyonun toplamı olarak yazılabildiği (Seçme Aksiyomu kullanılarak) gösterilmiş.

---

Sanirim linktede aynisini yapilmis. Fikrim suydu
$\mathbb{R}$ yi $\mathbb{Q}$ nun uzerine bir vektor uzayi gibi gormek. Her vektor uzayinin bir bazi vardir. Bu baza $A$ diyelim

Bu sayede

$x \in \mathbb{R}$ icin $\sum_{a \in A} \langle x,a \rangle a$

yazabiliriz

Yanilmiyorsam
$\langle x+y,a \rangle =$\langle y,a \rangle + $\langle y,a \rangle$
$\langle a,b \rangle = 0$ Eger $a \neq b$ ve $a,b \in A$

yani $\langle x+b,a \rangle = \langle x,a \rangle$

yani $\langle \cdot,a \rangle$ fonksyonu periyodik

Birim fonksiyon iki periyodik fonksiyonun toplamidir.

$c,d \in A$ ve $c \neq d$ olsun

o zaman $x = \langle x,c \rangle c + \sum_{a \in A \setminus c} \langle x,a \rangle a$
 

$x^2$ 3 periyodik fonksiyonun toplamidir

 $x^2 = \sum_{a,b \in A}  \langle x,a \rangle \langle x,b \rangle a b$
$C = \sum_{a,b \in A \setminus c}  \langle x,a \rangle \langle x,b \rangle a b$

$D = \langle x,c \rangle^2  c^2 \sum_{a,b \in A \setminus \{c,d\}}  \langle x,a \rangle \langle x,c \rangle a c$

$E = 2 \langle x,c \rangle \langle x,d \rangle cd$

$C,D$ ve $E$ periyodik. ve $x^2$ bunlarin toplami olarak yazilabiliyor.

$n.$ dereceden Polinomlar $n+1$ periyodik fonksiyonun toplamidir. 

$P(x)$ polinomunu su carpimlarin lineer kombinasyonu olarak yazabiliriz

$\langle x,a \rangle \langle x,b \rangle \cdots$ , ve $a,b,c \cdots \in A$

$a_0 \cdots a_n$ , $A$ dan gelen farkli $n+1$ elemean olsun. Su carpimlardan 

$\langle x,a \rangle \langle x,b \rangle \cdots$

hicbiri butun $a_0 \cdots a_n$ i bulundaramaz. Terimleri $n+1$ toplam seklinde $P_0 \cdots P_n$ diye yazabiliriz ve hicbir $P_i$ de $a_i$ bulunmaz.

$P(x) = \sum_i P_i(x)$ ve butun $P_i$ lerin periyodu $a_i$