Aşağıdaki aile topoloji olur mu?

Question

$X$ sonsuz bir küme ve $(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$$\tau^*:=\{X\setminus A|(A\subseteq X)(A, \ \tau\text{-kompakt})\}\cup \{\emptyset\}\subseteq 2^X$$ ailesi, $X$ kümesi üzerinde her zaman bir topoloji oluşturur mu? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Not: İlgili soruda $(X,\tau)$ topolojik uzayı bir Hausdorff uzayı idi. Burada uzayın bu özelliğini kaldırdık.

Answer 1

Yanıt hayır olmaz. Şöyle ki:

$$X=\mathbb{N}\cup\{\pi,e\}$$   ve  $$\tau=2^{\mathbb{N}}\cup\{\mathbb{N}\cup\{\pi\},\mathbb{N}\cup\{e\},X\}$$ olmak üzere $(X,\tau)$ topolojik uzayı (Hausdorff uzayı olmadığına dikkat edin) için $$\mathcal{A}=\{A|(A\subseteq X)(A, \ \tau\text{-kompakt})\}$$

$$=$$

$$\left\{A\big{|}|A|<\aleph_0\right\}\cup\{\mathbb{N}\cup\{\pi\},\mathbb{N}\cup\{e\},X\}$$ bulunur. O halde $$\tau^*=\left\{X\setminus A\big{|}|A|<\aleph_0\right\}\cup\left\{\{\pi\},\{e\},\emptyset\right\}$$ olur. $$\{\pi\},\{e\}\in\tau^*$$ fakat $$\{\pi,e\}\notin\tau^*$$ olduğunudan $\tau^*$ ailesi, $X$ kümesi üzerinde bir topoloji değildir.