$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k!}{k^k}x^k$

Question

Guzel bir kuvvet serisi sorusu..

$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k!}{k^k}x^k$$ kuvvet serisinin yakinsaklik araligini bulunuz?

Comments

ben de soruyu açmadan çözmeye uğraştım, kapalı form bulamadım ....

Answer 1

Metod 1)

Klasik kalkülüs metoduyla oran testi yaparsak.

$$L=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\dfrac{ \dfrac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}x^{k+1}}{ \dfrac{k!}{k^k}x^k}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left| \dfrac x {\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^k}\right|$$

$e$ sayısının tanımı gereği

$L=|x|/e$ gelir ve bu serinin yakınsaması için $L<1$ olmalıdır yani koşulumuz:

$|x|<e$ ve yarıçap $R=e$ gelir.

• $x=e$ iken incelersek serimiz
  
  $$S(e)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k!}{k^k}e^k$$ olur, stirling yaklaşımı yaparsak $$k!\approx \sqrt{2\pi k}(k/e)^k\quad\Rightarrow\quad \dfrac{k!}{k^k}e^k\approx \sqrt{2\pi k}$$
  $$S(e)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k!}{k^k}e^k=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{2\pi k}$$
  Seri $p-test$ gereği ıraksar.

• $x=-e$ için incelersek
  $$S(-e)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k!}{k^k}(-e)^k=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{2\pi k}(-1)^k=\sqrt{2\pi }\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt k(-1)^k$$
  bu seri de $nth term$ test sonucu ıraksar.

Yani serinin yakınsaklık aralığı $(-e,e)$ dir.

$$-----------------------$$

Metod 2) 

sadece yarıçapı buluyoruz sınırlarda bakmıyoruz

$\displaystyle\sum c_k (x-x_0)^k$  için $R=\dfrac1{\limsup\limits_{k\to \infty}\left| c_k\right|^{1/k}}$ kullanırsak

Yakınsaklık yarıçapı $R$:

$$R=\dfrac1{\limsup\limits_{k\to \infty}\left| \dfrac{k!}{k^k}\right|^{1/k}}$$

etikette de verildigi gibi stirling approximation uygularsak:

$$\dfrac{k!}{k^k}\approx \sqrt{2\pi k} (1/e)^k$$

$$\limsup\limits_{k\to \infty}\left| \dfrac{k!}{k^k}\right|^{1/k}\approx \lim\limits_{k\to \infty}\left| \sqrt{2\pi k} (1/e)^k\right|^{1/k}=\lim\limits_{k\to \infty}\underbrace{ \sqrt{2\pi}}_{\to1}\underbrace{ \left(k^{1/k}\right)^{1/2}}_{\to1} \left| \dfrac 1 {e}\right|$$

Dolayısıyla :

$$R=\dfrac1{\limsup\limits_{k\to \infty}\left| \dfrac{k!}{k^k}\right|}=\dfrac1{1/e}=e$$

Comments

Ilk method yarim kalmis. $x=\mp e$ icin  serinin yakinsakligi incelenmemis ve sorunun en guzel noktasi burasiydi.

---

aynen, sınırları unutmuşum, ilk zamanda ekleyecegim onları da.

---

Bu seriden yararlanarak $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}n$ limitin hesaplanışı. 

http://matematik.cu.edu.tr/Dersler/MT132/BirDizininLimiti.pdf