Ortalama Değer Teoremi'ni kanıtlayınız.

Question

Ortalama Değer Teoremi: $a,b\in\mathbb{R}, \ a<b$  ve  $f\in \mathbb{R}^{[a,b]}$  olmak üzere

$$(f, \ [a,b]\text{'de sürekli})(f, \ (a,b)\text{'de türevli})$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists c\in (a,b))\left(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)$$

Comments

Hocam bu Rolle Teoremi değil mi?

---

Düzelttim. Uyarın için teşekkür ederim.

Answer 1

$f$ fonksiyonun  $a$  ve  $b$   noktalarından geçen kirişini $g$ fonksiyonu ile gösterelim. Bu kirişin denklemi

$$g(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)$$ şeklinde yazılabilir. $g$ bir doğru denklemi olduğundan verilen aralıkta sürekli ve türevlidir. Amacımız $f$ fonksiyonunun bu kirişine paralel en az bir teğeti olduğunu göstermek.Şimdi $$h(x)=f(x)-g(x)$$ fonksiyonunu oluşturalım. $f$  ve  $g$  fonksiyonları sürekli ve türevli olduğundan farkları olan $h$   fonksiyonu da türevli ve süreklidir. $h(a)=h(b)=0$   olduğundan Rolle teoremi sağlanacağından $(a,b)$  aralığında $h'(c)=f'(c)-g'(c)=0$  şartını sağlayan en az bir $c$ noktası mevcuttur. Buradan $$f'(c)=g'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ elde edilir.

Comments

Teoremdeki $[a,b]$ kapalı aralığında sürekli, $(a,b)$  aralığında türevli şartı neden verilmiştir? Yani uç noktalardaki kapalılık ve açıklık şartı neye hizmet ediyor?

---

Ayrıca da $[a,b]$ aralığının uç noktalarında (a'da soldan, b'de sağdan yaklaşamadığımız halde ) sürekli olduğunu nasıl söyleyebiliyoruz. Fonksiyon bu noktalarda neden türevsiz?

---

$f$ fonsiyonunun $[a,b]$ araliginda surekli olmasi, bu fonksiyonun $[a,b]$ araliginda turevli olmasini garantilemez.

Ornek: $f(x)=(x-2)^{\frac13}$  ve $[a,b]=[2,4]$ olsun. Bu fonksiyon $[2,4]$ araliginda sureklidir ama  turevi $f'(x)=\frac{1}{3(x-2)^\frac23}$        $x=2$ de turevli degildir(aslinda sol turtevi yok). Bundan dolayi. $f$  fonksiyonu   $(a,b)$  araliginda turevli sarti gerekli tanimda.

---

Teşekkür ederim sayın @Okkes Dulgerci. Bu fonksiyonun $x=2$ sol limiti var mı ki, biz bu noktada sürekli diyoruz.

---

@Mehmet Toktas, $f(x)$ fonksiyonunun tanim araligi $(-\infty,\infty)$  dur,  $[a,b]=[2,4]$ degil. Dolayisiyla $\lim_{x\rightarrow2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow2^+}f(x)=f(2)=0$  ve $f(x)$ fonsiyonu $x=2$ de surekli diyebiliriz. 

---

Verilen bir aralikta surekliligin tanimina bakmak lazim. Suraya gore sol limit ve sag limitin varligi gerekli degil.

http://faculty.swosu.edu/michael.dougherty/calc1/MD3-3.pdf

---

Ayni sekilde suraya da bakilabilir.

http://web.ntpu.edu.tw/~ccw/calculus/Chapter_01/Page61-71.pdf

---

Aradan uzun zaman geçmiş olan yukarıdaki yorumlara tekrar bakmam gerekti. Sayın Dülgerci'nin  yabancı kaynaklardan aktardığı her iki tanım da; $f$  fonksiyonu $[a,b]$ 'de tanımlı ve $(a,b)$ de sürekli iken hem $\lim\limits _{x\to a^+}f(x)=f(a)$ ve de hem $\lim\limits _{x\to b^-}f(x)=f(b)$ oluyorsa bu fonksiyon $[a,b]$ de süreklidir denildiğini söylüyor. Çok az olmakla beraber bazı Türkçe kaynaklarda böyle söylüyor. Bu tanımlara göre fonksiyonun aralığın sol ucundaki noktada sağdan sürekli, sağ ucundaki noktada ise soldan sürekli olması bu noktalarda sürekli olması için yeterli olduğunu söylüyoruz ve fonksiyonu kapalı aralıkta sürekli kabul ediyoruz. Özetle sağ sürekli iken sürekli ve sol sürekli iken sürekli kabul ediyor olmamız bana biraz eksik geliyor. Sanıyorum bu durum sadece aralıkların kapalı taraflarına özel bir kabul/tanım.  

Neden aynı şeyi tek taraflı türevlerde de yapamıyoruz yaparsak ne gibi sakıncası var?