ln fonksiyonunun sonsuza gitme durumu

Question

$\ln 0^{+}$ için $\infty$ demiş kitaptaki çözümlü örnek ama anlayamadım, açıklayabilir misiniz?

e üzeri hangi değer 0'a yakınsayan bir sonuç verebilir ki?

Comments

$ln$ fonksiyonunun grafiğini incelediniz mi ?

---

$e^{-100},\ e^{-1000},\ e^{-10000},\ldots$ sayılarını düşün.

---

$\displaystyle\ln 0^+=\lim_{x\to0^+}\ln x$ anlamında olmak üzere:

$\displaystyle\ln 0^+=-\infty$ dense daha iyi olur.

---

Öncelikle şu tanımı hatırlayalım:

$A\subseteq\mathbb{R}, \ f\in \mathbb{R}^A$  ve  $a\in D(A\cap (a,\infty))$ olmak üzere

$$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=-\infty$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall \alpha\in\mathbb{R})(\exists\delta>0)(0<x-a<\delta\Rightarrow f(x)<\alpha)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \alpha\in\mathbb{R})(\exists\delta>0)(a<x<a+\delta\Rightarrow f(x)<\alpha)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \alpha\in\mathbb{R})(\exists\delta>0)(x\in (a,a+\delta)\Rightarrow f(x)<\alpha)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \alpha\in\mathbb{R})(\exists\delta>0)(f(x)\in f[(a,a+\delta)]\Rightarrow f(x)\in (-\infty,\alpha))$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \alpha\in\mathbb{R})(\exists\delta>0)(f[(a,a+\delta)]\subseteq (-\infty,\alpha))$$

Bu tanımı kullanarak $$\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$$ olduğunu göstermeye çalış. Tıkandığın noktada yine destek oluruz.

---

evet grafiği hiç aklıma getirmemiştim siz söylemeden önce :)

Answer 1

$$f(x)=\ln x$$ kuralı ile verilen $$f:(0,\infty)\to \mathbb{R}$$ fonksiyonunu ele alalım. Tanımda verdiğimiz $A$ kümesi yerine $(0,\infty)$ kümesi ve $a$ noktası yerine de $0$ noktası gelmiş.  $$D(\underset{A}{\underbrace{(0,\infty)}}\cap \underset{(a,\infty)}{\underbrace{(0,\infty)}})=D((0,\infty))=[0,\infty)$$   ve   $$0\in [0,\infty)$$  olduğundan $$\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=?$$ sorusu anlamlı bir sorudur. Şimdi 

$$(\forall \alpha\in\mathbb{R})(\exists\delta>0)(f[(0,0+\delta)]\subseteq (-\infty,\alpha))$$ önermesinin yani (daha sade bir şekilde)

$$(\forall \alpha\in\mathbb{R})(\exists\delta>0)(f[(0,\delta)]\subseteq (-\infty,\alpha))$$

önermesinin doğru olup olmadığını araştırabiliriz. $f(x)=\ln x$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonu bijektif ve artan bir fonksiyon olduğundan $$f[(0,\delta)]=(-\infty,\ln \delta)$$ olur. Soru şimdi 

$$f[(0,\delta)]=(-\infty,\ln \delta)\subseteq (-\infty,\alpha)$$ olması için  $\ln\delta$  ile  $\alpha$ arasında nasıl bir ilişki olmalıdır sorusuna dönüştü. $$(-\infty,\ln \delta)\subseteq (-\infty,\alpha)$$ koşulunun sağlanması için de $$\ln\delta \leq\alpha$$ yani $$\delta\leq e^\alpha$$  olması gerektiğini görmek zor olmasa gerek. Tüm bu bilgiler ışığı altında artık şunu söyleyebiliriz:

Her $\alpha\in\mathbb{R}$ için $0<\delta\leq e^{\alpha}$ seçilirse

$$f[(0,\delta)]\subseteq (-\infty,\alpha)$$ koşulu sağlanır. Bu da $$(\forall \alpha\in\mathbb{R})(\exists\delta>0)(f[(0,0+\delta)]\subseteq (-\infty,\alpha))$$  önermesinin doğru olması yani $$\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$$ olması demektir.

Comments

ilk başta terimler çok korkunç geldi ama sindire sindire sonuna geldikçe çok iyi kavramamı sağladı, teşekkürler hocam 

Answer 2

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ olduğunu gösterebiliyorsak (veya kabul edersek) bu limiti şöyle bulabiliriz:

$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x=\lim_{t\to+\infty}\ln\frac1t=\lim_{t\to+\infty}(-\ln t)=-\lim_{t\to+\infty}\ln t=-\infty$

olur.

Comments

$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x=\lim_{t\to+\infty}\ln\frac1t$ olduğunu da kabul edersek (veya bir şekilde gösterebilirsek)

---

teşekkür ederim hocam