Bir ikizkenar üçgenden kendine benzer bir üçgen çıkartıldığında geriye ikizkenar üçgen kalıyorsa bu üçgene "Altın üçgen" denir. Bu şartı sağlayan üçgenleri bulunuz.

Question

Bir ikizkenar üçgenden kenidine benzer bir üçgen çıkartıldığında geriye ikizkenar üçgen kalıyorsa bu üçgene  Altın üçgen denir. Bu şartı sağlayan üçgenleri bulunuz . ilgili soru

Comments

Hocam üçgeni çizdim açilara $\alpha$ ve $\theta$ dedim, ve bunlara bağlı iki denklemden tek bir $\theta$ ve $\alpha$ buldum, doğru mudur?

---

Biri dar açılı diğeri geniş açılı iki üçgen olması lazım.

---

Evet tanimi da altin orana uyuyor. Kim buluyor boyle tanimlari:)

---

Evet, bu ucgenlerde uzun kenarin kisa kenara orani altin orani veriyor.

Answer 1

Vaktim olursa bir ara seklini de cizerim. 

(1) Ilk ucgenin kenar uzunluklari $a,a,b$ olsun ve $a>b$ olsun. (Olusabilecek iki durumdan biri).
(2) Bundan $b,b,b^2/a$ olan benzerini bir kenari ilkinde $b$ uzunluguna sahip kenara koyarak cikartalim.
(3) Geriye $a,b,\frac{a^2-b^2}{a}$ ucgeni kalir.
(4) $a$ diger ikisine esit olamadigindan diger ikisi birbirine esit olmali, yani

$$\frac{a^2-b^2}{a}=b \ \ \ \implies \ \ \ a^2-ab-b^2=0 \ \ \ \implies \ \ \ (a/b)^2-(a/b)-1=0$$ olmali. 

Comments

Sercan Hocam , buradan acilara gecisi nasil dusundun?

---

 Ben kenar bazli bakmistim olaya...

---

Onu da eklerim, internet biraz yavas gibi...

Answer 2

   $AB=AC>BC$ olmak üzere bir $ABC$ üçgeni çizelim ve $ABC$ açısına $2x$ diyelim. $AC$ üzerinden $AD=BD=BC$ olmak üzere bir $D$ noktası belirleyelip büyük üçgen içinde bir ikizkenar üçgen daha ($DBC$) oluşturalım.  $BCD$ ve $CDB$ açıları $2x$ $DBC$ ise $x$ olur. $$5x=180,    x=36$$     Oluşan $72,72,36$ dereceli açılara sahip üçgen birinci, kesildikten sonra geride kalan $36,36,108$ dereceli açılara sahip üçgen ise ikinci altın üçgen olmuş olur. 

   Yani $72,72,36$ üçgeninin kısa kenarından ilkine benzer ikizkenar üçgenler kesmek istersek kalan üçgenler $36,36,108$ derece açıları olan, ardından $72,72,36$ derece açıları olan bir altın üçgenler dizisi elde ederiz 

Answer 3

Sonuç. Altın üçgende uzun kenarın kısa kenara oranı altın oranı verir.

Kanıt: Sercan Hoca'nın çözümüne bakınız.

Answer 4

Sonuc. Duzgun besgenin tum kosegenleri cizildiginde olusan tum ucgenler Altin ucgendir.