$ADC$ üçgeninde $B\in[DC]$ olacak şekilde bir $B$ noktası seçelim. $|AB|=c$, $|AD|=d$, $|BC|=a$ ve $|AC|=b$'dir. $ab=cd$ olduğuna göre $\widehat{ADC}$ kaç derecedir?

Question

$ADC$ üçgeninde $B\in[DC]$ olacak şekilde bir $B$ noktası seçelim. $|AB|=c$, $|AD|=d$, $|BC|=a$ ve $|AC|=b$'dir. $m(\widehat{ABC})=24^\circ$, $m(\widehat{ACB})=30^\circ$'dir. $ab=cd$ olduğuna göre $\widehat{ADC}$ kaç derecedir?

Merhabalar, $|DB|\leq |AC|$ ön kabulu ile özel bir çözüm yapmaya çalıştım. Bunu için $DB]$ uzantısında $|EB|=b$ olacak şekilde bir $E$ noktası işaretledim. Sonra da $[AB$ uzantısında $|FB|=d$ olacak şekilde bir $F$ noktası işaretledim. $B$ noktası kuvveti sağladığı için $A,E,F,C$ noktaları çemberseldir. Buradan sonra $30^\circ$ kullanarak kenarları $b$ olan bir eşkenar üçgen oluşturdum, oluşturduğum eşkenar üçgenin A ve B dışındaki üçüncü noktası merkez gibi durdu ama daha sonra çelişkiye düştüm. Tavsiyeleriniz nelerdir?

Comments

Selam

Deniz hocam;

$\widehat{DAB}$=$\alpha$  ve $\text{BD=x alalım}$

$\text{a.b=c.d olduğundan BAD üçgeninin alanı ile BAC üçgeninin alanını }$ $\alpha\text{ ve 30 derece kullanarak yazıp oranladım.}$$\text{Bu oran}$$\dfrac{x}{2a}\text{olduğundan gerekli eşitlemeleri yapıp sin}\alpha=\dfrac{x}{2.a}$ buldum.Fakat kısır döngü içerisinde hep ispat geldi.

Belki başka arkadaşların değişik bir yorumu olur

---

Selam Engin Hocam,

Sadece Deniz demeniz yeterlidir, ben hoca değilim:) Alan hiç aklıma gelmemiş, teşekkür ederim.

Yazdıklarınız üzerine $ADB$ üçgeninde sinüs teoremi uyguladım ve$\dfrac{|DB|}{\sin\alpha}=2a=2R$ buldum. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı $|BC|$'ye eşit oldu, bir de $ABC$ üçgeninde sinüs teoremi uygulayınca da benzer şekilde $c=r$ çıktı. Bunları anlık bir dalgınlıkla da hesaplamış olabilirim bilemiyorum şu an:) Bir de Mustafa Yağcı'nın zihin 1 sorusundaki üçgene benzetebilir miyiz diye düşündüm $ABC$ üçgenini? ($30^\circ$ ve $24^\circ$'ü görünce:)

---

Selam Deniz 

Zihin 1 aslında güzel mantık işi fakat bu soruda oturtamadim. Uymayan birşey var ya da ben göremedim. Hatta eşkenar sonrası 36-72-72 ikizkenar üçgeni de geldi ama göremedim. Köy gezintisi yapıyoruz. Akşama çizimi paylaşırım belki ekleme -cıkarma  olur.yorum filan gelir.

Selamlar

---

Teşekkür ederim hocam, iyi geziler:)

---

Trigonometri kullanarak yaniti 18 derece buluyorum ama bunun icin ya  hesap nakinesinden faydalanmaliyiz ya da  $2cos36sin12=1/4$ esitligini gostermeliyiz. Gidis yolu olarak sinus teoreminden faydalandim.

---

Bu soru ile ilgili http://matkafasi.com/73378/duzgun-besgen-ve-altin-oran

Answer 1

Sırasıyla $ABC$  ve  $ADC$  üçgenlerine sinüs teoremi uygulanır  ve  $a.d=c.d$  eşitliğinden faydalanılırsa $$\dfrac{a}{c}=\dfrac{\sin54}{\sin30}=\dfrac{d}{b}=\dfrac{\sin30}{\sin x}$$   ya da   $\sin x.\sin 54=1/4=2\sin((x+54)/2).\cos((x-54)/2)$  eşitliğini buluruz. Bundan sonra biraz trigonometri kullanarak   $\sin54=\cos 36=\dfrac{\sqrt 5+1}{4}$ bulunarak  $\sin x=\dfrac{\sqrt 5-1}{4}$  eşitliğinden  dar açı olarak  $x=18^{\circ}$   bulunur. Altın oran $\phi=\dfrac{\sqrt 5+1}{2}$ ile gösterilirse  $\cos 36=\dfrac{\phi}{2}$ de yazabiliriz.  Burada  $\dfrac{a}{c}=\dfrac{\sin54}{\sin30}=\dfrac{d}{b}=\dfrac{\sin30}{\sin x}=\dfrac{\sqrt5+1}{2}=1,618...$  sayısı yani altın oran çıkıyor. Bakınız  http://matkafasi.com/73378/duzgun-besgen-ve-altin-oran  Bu linkte $AC/AB= \sin72/\sin36$  oranı da altın oranı veriyor. Demek ki bu oranı veren açıları bilirsek de soruya kısaca yanıt verebiliriz.

Comments

Elinize sağlık hocam teşekkür ederim:)

---

Birşey değil Deniz. İlgili soru