Ideal halkalar

Question

$R$ birimli değişmeli  bir halka ve $I$, $J$ iki ideali olsun. $I+J=R$ ise $I \cap J=IJ$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Merhaba Gülsün koparan, Matkafasi'na hoş geldiniz.Sitede soru sorarken dikkat edilmesi gereken pek çok kural var. Bunlardan en önemlilerinden birisi, soru soran kişinin yazdığı soru hakkında kendi denemelerini ve düşündüklerini yazması kuralı. Bu kuralın pek çok nedeni var. Bu konuda lütfen şuradaki yorumu okuyun. Genel kurallar hakkında da lütfen şuraya bakınız. Bir de sorumuza uygun kategori ve etiket seçimine dikkat etmeliyiz

Önemli anımsatma: Genel olarak kurallara uygun sorulmuş sorular yanıt bulmakta.

---

$I+J=R$ oldugunu kullanabilirsin. Demek ki $1=i+j$ olarak yazilabilir.

---

Peki buradaki i ve j  ler kesişimin  elemanı olur mu 

Yani buradan i ve j elemani dir  kesişim  deyip bu iki halkanın  carpimlarinin  alt kümesi olduğuna nasıl ulaşacağım

---

Olmak zorunda degil. $I+J=R$ olmasi demek oyle $i \in I$ ve $j\in J$ olmasi vardir ki

$$i+j=1$$ olmasi demektir. Bu guzel cunku idealdeki herhangi bir $a$ elemani icin $$a=ai+aj$$ saglanir. Peki bu $a$ bu iki idealin kesisiminde ise ne olur?

---

O halde a dediğimiz eleman hem I nın  hemde J nin elemanı olur 

---

Evet, kesisimde ise dogal olarak kesisimde olur. Fakat cikartmak istedigimiz bu degil. Istedigimiz kesisimde ise carpimda olur'u gostermek. Bunun icin de $a$'nin esiti olan $ai+aj$'yi kullanmaliyiz. 

---

Ancak kesişimde olduğunu bilmiyoruz öncelikle bunu göstermemiz  gerekmez mi 

a parantezine  almak bi işimize yarar mı 

---

$a \in I\cap J$ alip $a\in IJ$ oldugunu gostermeye calisacagiz. $a \in I\cap J$ olarak aldigimizdan zaten kesisimde, boyle aliyoruz. Bu durumda $ai$ ve $aj$ elemanlarinin $IJ$'de oldugunu gosterirsek $ai+aj$ yani $a$ da $IJ$'de olur. (degil mi?)

---

Evet hocam ai ve aj  nin IJ  de olduğunu göstermek için a kesişimin  elemaniydi  i de I  nın elemanı deyip direkt ai IJ  ve aj  elemani dir IJ  diyebilir miyiz 

---

Ya  da IJ nin tanimindan  toplam sembolundeki  ai aj ler carpimin elemanı olur mu demeliyiz

---

$ai\in IJ$ oldugunu gosterelim: $a \in I\cap J$ oldugundan $a \in J$ olur. Ayni zamanda $i \in I$ dolayisiyla $ai=ia\in IJ$ olur. ($IJ$'nin tanimi geregi)... $aj$'yi de ayni sekilde gosterebiliriz.

---

Anladım hocam diğer kapsamayi göstermek için izlediğim  yol doğru mudur peki 

---

Dogru $IJ$ zaten her zaman $I\cup J$ icerisinde. Cunku $IJ \subseteq IR=I$ ve $IJ \subseteq RJ=J$. Ideal olmanin guzelligi...

Bunlara zamanla alisirsin. Ilk olarak acip yazmak daha iyi olabilir, gormek icin.

---

Anladım hocam çok teşekkür  ederim çok yardımcı oldunuz direkt  cevabı  vermektense beni zorlamaniz  bana çok şey kattı

---

Buradaki amacimiz zaten bu. Ogrenen kisileri problemlerini cozebiliecek seviyeye getirmek. Ise yaramasi da sevindirici tabii. Ben de tesekkur ederim.

Answer 1

Yorumlari cevaba geciriyorum:

$IJ$ zaten her zaman $I\cup J$ icerisinde. Cunku $IJ \subseteq IR=I$ ve $IJ \subseteq RJ=J$. Ideal olmanin guzelligi...

Gelgelelim diger yone...  $I+J=R$ olmasi demek oyle $i \in I$ ve $j\in J$ olmasi vardir ki

$$i+j=1$$ olmasi demektir. Bu guzel cunku idealdeki herhangi bir $a$ elemani icin $$a=ai+aj$$ saglanir. Peki bu $a$ bu iki idealin kesisiminde ise ne olur?

$a \in I\cap J$ olsun. Bu durumda $ai$ ve $aj$ elemanlarinin $IJ$'de oldugunu gosterirsek $ai+aj$ yani $a$ da $IJ$'de olur. 

$ai\in IJ$ oldugunu gosterelim: $a \in I\cap J$ oldugundan $a \in J$ olur. Ayni zamanda $i \in I$ dolayisiyla $ai=ia\in IJ$ olur. ($IJ$'nin tanimi geregi)... 

$aj\in IJ$ oldugunu gosterelim: $a \in I\cap J$ oldugundan $a \in I$ olur. Ayni zamanda $j \in J$ dolayisiyla $aj\in IJ$ olur. ($IJ$'nin tanimi geregi)...